কন্টেন্ট

• ধাপ

একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে "x" (অথবা অন্য কোন পরিবর্তনশীল) ভেরিয়েবলের এক বা একাধিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন রয়েছে। একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা হচ্ছে এমন একটি মান "x" খুঁজে পাওয়া যা ফাংশন (গুলি) এবং সমগ্র সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে।

• ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধানগুলি ডিগ্রী বা রেডিয়ানে প্রকাশ করা হয়। উদাহরণ:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 ডিগ্রী; x = 37.12 ডিগ্রী; x = 178.37 ডিগ্রী।

• দ্রষ্টব্য: রেডিয়ানে প্রকাশিত কোণ থেকে, এবং ডিগ্রিতে প্রকাশিত কোণ থেকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান সমান। একটি ব্যাসার্ধ সমান একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন বর্ণনা করার পাশাপাশি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং অসমতার সমাধানের সঠিকতা যাচাই করতে ব্যবহৃত হয়।
• ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের উদাহরণ:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1।

1. একটি (একক বৃত্ত) এর ব্যাসার্ধ সহ একটি ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত।
   • এটি একটি বৃত্ত যার সমান ব্যাসার্ধ এবং কেন্দ্র O বিন্দুতে।
   • যদি "x" একক বৃত্তের কিছু কোণ হয়, তাহলে:
   • অনুভূমিক অক্ষ OAx F (x) = cos x ফাংশন সংজ্ঞায়িত করে।
   • উল্লম্ব অক্ষ OBy F (x) = sin x ফাংশন সংজ্ঞায়িত করে।
   • উল্লম্ব অক্ষ AT ফাংশন সংজ্ঞায়িত করে F (x) = tan x।
   • অনুভূমিক অক্ষ BU F (x) = ctg x ফাংশন সংজ্ঞায়িত করে।

• ইউনিট বৃত্ত মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং অসমতার সমাধানের জন্যও ব্যবহার করা হয় (এর উপর "x" এর বিভিন্ন অবস্থান বিবেচনা করা হয়)।

ধাপ

1. 1 ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের ধারণা।
   • একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করতে, এটিকে এক বা একাধিক মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে রূপান্তর করুন। একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা শেষ পর্যন্ত চারটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানে নেমে আসে।
2. 2 মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা।
   • মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ 4 ধরনের আছে:
   • পাপ x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান ইউনিট বৃত্তের বিভিন্ন x পজিশন দেখে এবং একটি রূপান্তর টেবিল (বা ক্যালকুলেটর) ব্যবহার করে।
   • উদাহরণ 1. সিন x = 0.866। একটি রূপান্তর টেবিল (বা ক্যালকুলেটর) ব্যবহার করে, আপনি উত্তর পাবেন: x = π / 3। ইউনিট বৃত্ত আরেকটি উত্তর দেয়: 2π / 3। মনে রাখবেন: সমস্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন পর্যায়ক্রমিক, অর্থাৎ তাদের মানগুলি পুনরাবৃত্তি হয়। উদাহরণস্বরূপ, পাপ x এবং cos x এর পর্যায়কাল 2πn, এবং tg x এবং ctg x এর পর্যায়কাল πn। অতএব, উত্তরটি নিম্নরূপ লেখা হয়েছে:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn।
   • উদাহরণ 2. কোস x = -1/2। একটি রূপান্তর টেবিল (বা ক্যালকুলেটর) ব্যবহার করে, আপনি উত্তর পাবেন: x = 2π / 3। ইউনিট বৃত্ত আরেকটি উত্তর দেয়: -2π / 3।
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π।
   • উদাহরণ 3. tg (x - π / 4) = 0।
   • উত্তর: x = π / 4 + πn।
   • উদাহরণ 4. ctg 2x = 1.732।
   • উত্তর: x = π / 12 + πn।
3. 3 ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানে ব্যবহৃত রূপান্তর।
   • ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ রূপান্তর করতে, বীজগাণিতিক রূপান্তর (ফ্যাক্টরাইজেশন, সমজাতীয় পদ হ্রাস ইত্যাদি) এবং ত্রিকোণমিতিক পরিচয় ব্যবহার করা হয়।
   • উদাহরণ 5. ত্রিকোণমিতিক পরিচয় ব্যবহার করে, সমীকরণ sin x + sin 2x + sin 3x = 0 সমীকরণ 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. এ রূপান্তরিত হয়। নিম্নলিখিত মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করুন: cos x = 0; পাপ (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0।
     
     
4. 4 ফাংশনের পরিচিত মান থেকে কোণ খোঁজা।
   • ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি শেখার আগে, আপনাকে ফাংশনের পরিচিত মান থেকে কোণগুলি কীভাবে খুঁজে বের করতে হয় তা শিখতে হবে। এটি একটি রূপান্তর টেবিল বা ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে করা যেতে পারে।
   • উদাহরণ: cos x = 0.732। ক্যালকুলেটর উত্তর দেবে x = 42.95 ডিগ্রী। ইউনিট বৃত্ত অতিরিক্ত কোণ দেবে, যার কোসাইনও 0.732।
5. 5 সমাধানটি ইউনিট বৃত্তের পাশে রাখুন।
   • আপনি ইউনিট বৃত্তে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান স্থগিত করতে পারেন। একক বৃত্তে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান হল একটি নিয়মিত বহুভুজের শীর্ষবিন্দু।
   • উদাহরণ: একক বৃত্তের x = π / 3 + πn / 2 সমাধানগুলি একটি বর্গক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু।
   • উদাহরণ: একক বৃত্তের x = π / 4 + πn / 3 সমাধানগুলি একটি নিয়মিত ষড়ভুজের শীর্ষবিন্দু প্রতিনিধিত্ব করে।
6. 6 ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি।
   • যদি একটি প্রদত্ত ট্রিগ সমীকরণে শুধুমাত্র একটি ত্রি ফাংশন থাকে, তাহলে সেই সমীকরণটিকে মৌলিক ত্রিগণ সমীকরণ হিসেবে সমাধান করুন।যদি একটি প্রদত্ত সমীকরণে দুই বা ততোধিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন থাকে, তাহলে এই ধরনের সমীকরণ সমাধানের জন্য 2 টি পদ্ধতি রয়েছে (এর রূপান্তরের সম্ভাবনার উপর নির্ভর করে)।
     • পদ্ধতি 1।
   • এই সমীকরণটিকে ফর্মের সমীকরণে রূপান্তর করুন: f (x) * g (x) * h (x) = 0, যেখানে f (x), g (x), h (x) হল মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
     
     
   • উদাহরণ 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • সমাধান। দ্বিগুণ কোণ সূত্র ব্যবহার করে sin 2x = 2 * sin x * cos x, sin 2x প্রতিস্থাপন করুন।
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. এখন দুটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করুন: cos x = 0 এবং (sin x + 1) = 0।
   • উদাহরণ 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • সমাধান: ত্রিকোণমিতিক পরিচয় ব্যবহার করে, এই সমীকরণটিকে ফর্মের সমীকরণে রূপান্তর করুন: cos 2x (2cos x + 1) = 0. এখন দুটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করুন: cos 2x = 0 এবং (2cos x + 1) = 0।
   • উদাহরণ 8.sin x - sin 3x = cos 2x। (0 x 2π)
   • সমাধান: ত্রিকোণমিতিক পরিচয় ব্যবহার করে, এই সমীকরণটিকে ফর্মের সমীকরণে রূপান্তর করুন: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. এখন দুটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করুন: cos 2x = 0 এবং (2sin x + 1) = 0।
     • পদ্ধতি 2।
   • প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক সমীকরণকে শুধুমাত্র একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সমীকরণে রূপান্তর করুন। তারপর এই ত্রিকোণমিতিক ফাংশনটিকে কিছু অজানা দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন, উদাহরণস্বরূপ, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, ইত্যাদি)।
   • উদাহরণ 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π)।
   • সমাধান। এই সমীকরণে, (cos -2 x) (1 - sin ^ 2 x) (পরিচয় দ্বারা) দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন। রূপান্তরিত সমীকরণ হল:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x টি দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন। সমীকরণটি এখন এইরকম দেখাচ্ছে: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. এটি দুটি মূলের একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ: t1 = -1 এবং t2 = 9/5। দ্বিতীয় রুট t2 ফাংশনের মানগুলির পরিসর পূরণ করে না (-1 sin x 1)। এখন সিদ্ধান্ত নিন: t = sin x = -1; x = 3π / 2।
   • উদাহরণ 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • সমাধান। Tg x কে t দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন। নিম্নরূপ মূল সমীকরণটি পুনরায় লিখুন: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. এখন t খুঁজুন এবং তারপর t = tg x এর জন্য x খুঁজুন।
7. 7 বিশেষ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
   • বেশ কয়েকটি বিশেষ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ রয়েছে যার জন্য নির্দিষ্ট রূপান্তর প্রয়োজন। উদাহরণ:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পর্যায়ক্রমিকতা।
   • পূর্বে উল্লেখ করা হয়েছে, সমস্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন পর্যায়ক্রমিক, অর্থাৎ, তাদের মানগুলি একটি নির্দিষ্ট সময়ের পরে পুনরাবৃত্তি করা হয়। উদাহরণ:
     • F (x) = sin x ফাংশনের সময়কাল 2π।
     • ফাংশনের সময়কাল f (x) = tan x to এর সমান।
     • F (x) = sin 2x ফাংশনের সময় হল π।
     • F (x) = cos (x / 2) ফাংশনের সময়কাল 4π।
   • যদি সময়ের মধ্যে সমস্যা নির্দিষ্ট করা থাকে, এই সময়ের মধ্যে "x" মান গণনা করুন।
   • দ্রষ্টব্য: ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা সহজ কাজ নয় এবং প্রায়ই ত্রুটির দিকে নিয়ে যায়। তাই সাবধানে আপনার উত্তর চেক করুন। এটি করার জন্য, আপনি প্রদত্ত সমীকরণ R (x) = 0. এর প্লট করার জন্য একটি গ্রাফিং ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে পারেন।