কন্টেন্ট

• প্রাথমিক তথ্য
• ধাপ
• 3 এর অংশ 1: ​​মূল বিষয়গুলি
• 3 এর অংশ 2: ল্যাপ্লেস রূপান্তরের বৈশিষ্ট্য
• 3 এর অংশ 3: সিরিজ সম্প্রসারণের মাধ্যমে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম খোঁজা

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম একটি অবিচ্ছেদ্য রূপান্তর যা ধ্রুবক সহগের সাথে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়। এই রূপান্তর পদার্থবিজ্ঞান এবং প্রকৌশল ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

যদিও আপনি উপযুক্ত টেবিল ব্যবহার করতে পারেন, ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম বুঝতে সাহায্য করে যাতে প্রয়োজনে আপনি নিজে এটি করতে পারেন।

প্রাথমিক তথ্য

• একটি ফাংশন দেওয়া হয়েছে ${ displaystyle f (t)}$জন্য সংজ্ঞায়িত ${ displaystyle t geq 0.}$ তারপর ল্যাপ্লেস রূপান্তর ফাংশন ${ displaystyle f (t)}$ প্রতিটি মানের পরবর্তী ফাংশন ${ displaystyle s}$, যেখানে অবিচ্ছেদ্য একত্রিত হয়:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম টি-অঞ্চল (টাইম স্কেল) থেকে এস-অঞ্চলে (রূপান্তর অঞ্চল) একটি ফাংশন নেয়, যেখানে ${ ডিসপ্লে স্টাইল F (গুলি)}$ একটি জটিল পরিবর্তনশীল একটি জটিল ফাংশন। এটি আপনাকে ফাংশনটিকে এমন একটি এলাকায় নিয়ে যেতে দেয় যেখানে একটি সমাধান আরও সহজে পাওয়া যায়।
• স্পষ্টতই, ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম একটি রৈখিক অপারেটর, তাই যদি আমরা একটি শর্তের সমষ্টি নিয়ে কাজ করছি, প্রতিটি অবিচ্ছেদ্য আলাদাভাবে গণনা করা যেতে পারে।
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• মনে রাখবেন যে ল্যাপ্লেস রূপান্তর শুধুমাত্র তখনই কাজ করে যদি অবিচ্ছেদ্য একত্রিত হয়। যদি ফাংশন ${ displaystyle f (t)}$ অনিশ্চয়তা এড়ানোর জন্য, সতর্কতা অবলম্বন করা এবং সঠিকভাবে সংহত করার সীমা নির্ধারণ করা প্রয়োজন।

ধাপ

3 এর অংশ 1: ​​মূল বিষয়গুলি

1. 1 ফাংশনটিকে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম ফর্মুলায় প্রতিস্থাপন করুন। তাত্ত্বিকভাবে, একটি ফাংশনের ল্যাপ্লেস রূপান্তর গণনা করা খুব সহজ। একটি উদাহরণ হিসাবে, ফাংশন বিবেচনা করুন ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, কোথায় ${ displaystyle a}$ সঙ্গে একটি জটিল ধ্রুবক ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)।}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 উপলব্ধ পদ্ধতি ব্যবহার করে অবিচ্ছেদ্য অনুমান করুন। আমাদের উদাহরণে, অনুমানটি খুব সহজ এবং আপনি সাধারণ গণনার মাধ্যমে পেতে পারেন। আরো জটিল ক্ষেত্রে, আরো জটিল পদ্ধতির প্রয়োজন হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, অংশ দ্বারা একীকরণ বা অবিচ্ছেদ্য চিহ্নের অধীনে পার্থক্য। সীমাবদ্ধতার অবস্থা ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ এর মানে হল যে অবিচ্ছেদ্য একত্রিত হয়, অর্থাৎ, এর মান 0 হিসাবে থাকে ${ displaystyle t to infty}$
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {aligned}}}$
   • উল্লেখ্য, এটি আমাদের দুটি ধরনের ল্যাপ্লেস রূপান্তর করে, সাইন এবং কোসাইন দিয়ে, যেহেতু ইউলারের সূত্র অনুযায়ী ${ displaystyle e ^ {iat}}$... এই ক্ষেত্রে, হর আমরা পেতে ${ displaystyle s-ia,}$ এবং এটি কেবল আসল এবং কাল্পনিক অংশগুলি নির্ধারণের জন্য রয়ে গেছে। আপনি সরাসরি ফলাফল মূল্যায়ন করতে পারেন, কিন্তু এটি একটু বেশি সময় লাগবে।
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 একটি পাওয়ার ফাংশনের ল্যাপ্লেস রূপান্তর বিবেচনা করুন। প্রথমে, আপনাকে পাওয়ার ফাংশনের রূপান্তর সংজ্ঞায়িত করতে হবে, যেহেতু লিনিয়ারিটি প্রপার্টি আপনাকে এর জন্য রূপান্তর খুঁজে পেতে দেয় সবগুলো বহুপদী ফর্মের একটি ফাংশন ${ displaystyle t ^ {n},}$ কোথায় ${ displaystyle n}$ - কোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা একটি পুনরাবৃত্তিমূলক নিয়ম সংজ্ঞায়িত করার জন্য টুকরো টুকরো সংহত করা যেতে পারে।
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n}} = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { গণিত {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • এই ফলাফলটি নিখুঁতভাবে প্রকাশ করা হয়েছে, তবে যদি আপনি বেশ কয়েকটি মান প্রতিস্থাপন করেন ${ displaystyle n,}$ আপনি একটি নির্দিষ্ট প্যাটার্ন স্থাপন করতে পারেন (এটি নিজে করার চেষ্টা করুন), যা আপনাকে নিম্নলিখিত ফলাফল পেতে দেয়:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n}} = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • আপনি গামা ফাংশন ব্যবহার করে ভগ্নাংশ ক্ষমতার ল্যাপ্লেস রূপান্তরকেও সংজ্ঞায়িত করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, এই ভাবে আপনি একটি ফাংশনের রূপান্তর খুঁজে পেতে পারেন যেমন ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}।}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n}} = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • যদিও ভগ্নাংশের ক্ষমতার ফাংশনে অবশ্যই কাটা আছে (মনে রাখবেন, যেকোন জটিল সংখ্যা ${ displaystyle z}$ এবং ${ displaystyle alpha}$ হিসাবে লেখা যেতে পারে ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, কারন ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), তাদের সবসময় এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যে কাটাগুলি বাম অর্ধ-সমতলে থাকে এবং এইভাবে বিশ্লেষণের সমস্যাগুলি এড়ায়।

3 এর অংশ 2: ল্যাপ্লেস রূপান্তরের বৈশিষ্ট্য

1. 1 আসুন আমরা ফাংশনের ল্যাপ্লেস রূপান্তরকে গুণ করি ইকটি{ displaystyle e ^ {at}}. পূর্ববর্তী বিভাগে প্রাপ্ত ফলাফল আমাদের ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের কিছু আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য খুঁজে বের করতে দেয়। কোসাইন, সাইন এবং এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনের মতো ফাংশনের ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম পাওয়ার ফাংশন ট্রান্সফর্মের চেয়ে সহজ বলে মনে হয়। দ্বারা গুণ ${ displaystyle e ^ {at}}$ টি-অঞ্চলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ স্থানান্তর এস-অঞ্চলে:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • এই সম্পত্তি অবিলম্বে আপনি যেমন ফাংশন রূপান্তর খুঁজে পেতে অনুমতি দেয় ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, অবিচ্ছেদ্য হিসাব না করে:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 আসুন আমরা ফাংশনের ল্যাপ্লেস রূপান্তরকে গুণ করি টিn{ displaystyle t ^ {n}}. প্রথম, দ্বারা গুণ বিবেচনা করুন ${ displaystyle t}$... সংজ্ঞা অনুসারে, কেউ একটি অবিচ্ছেদ্য অধীনে একটি ফাংশনকে আলাদা করতে পারে এবং একটি আশ্চর্যজনকভাবে সহজ ফলাফল পেতে পারে:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • এই অপারেশন পুনরাবৃত্তি, আমরা চূড়ান্ত ফলাফল পেতে:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} গুলি ^ {n}}}}$
   • যদিও ইন্টিগ্রেশন এবং ডিফারেনশনের অপারেটরদের পুনর্বিন্যাসের জন্য কিছু অতিরিক্ত যুক্তি প্রয়োজন, আমরা এটি এখানে উপস্থাপন করবো না, তবে শুধু মনে রাখবেন যে চূড়ান্ত ফলাফল যদি সঠিক হয় তবে এই অপারেশনটি সঠিক। আপনি ভেরিয়েবলগুলিও বিবেচনা করতে পারেন ${ displaystyle s}$ এবং ${ displaystyle t}$ একে অপরের উপর নির্ভর করবেন না।
   • এই নিয়মটি ব্যবহার করে, ফাংশনের রূপান্তর খুঁজে পাওয়া সহজ ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, অংশ দ্বারা পুনরায় ইন্টিগ্রেশন ছাড়া:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 ফাংশনের ল্যাপ্লেস রূপান্তর খুঁজুন চ(কটি){ displaystyle f (at)}. ট্রান্সফর্মের সংজ্ঞা ব্যবহার করে ভেরিয়েবলকে আপনার সাথে প্রতিস্থাপন করে এটি সহজেই করা যেতে পারে:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} th mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F left ({ frac {s} {a}} right) end {aligned}}}$
   • উপরে, আমরা ফাংশনগুলির ল্যাপ্লেস রূপান্তর খুঁজে পেয়েছি ${ displaystyle sin at}$ এবং ${ displaystyle cos at}$ সরাসরি সূচকীয় ফাংশন থেকে। এই সম্পত্তি ব্যবহার করে, আপনি একই ফলাফল পেতে পারেন যদি আপনি বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলি খুঁজে পান ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 ডেরিভেটিভের ল্যাপ্লেস রূপান্তর খুঁজুন চ′(টি){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. পূর্ববর্তী উদাহরণের বিপরীতে, এই ক্ষেত্রে করতে হবে টুকরো টুকরো সংহত করুন:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {aligned}}}$
   • যেহেতু দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ অনেক শারীরিক সমস্যায় ঘটে, তাই আমরা এর জন্য ল্যাপ্লেস রূপান্তরও খুঁজে পাই:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • সাধারণ ক্ষেত্রে, নবম অর্ডার ডেরিভেটিভের ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মটি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে (এটি ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করতে দেয়):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

3 এর অংশ 3: সিরিজ সম্প্রসারণের মাধ্যমে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম খোঁজা

1. 1 আসুন একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের জন্য ল্যাপ্লেস রূপান্তর খুঁজে বের করি। পর্যায়ক্রমিক ফাংশন শর্ত পূরণ করে ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ কোথায় ${ displaystyle T}$ ফাংশনের সময়কাল, এবং ${ displaystyle n}$ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। সিগন্যাল প্রসেসিং এবং ইলেকট্রিক্যাল ইঞ্জিনিয়ারিং সহ অনেক অ্যাপ্লিকেশনে পর্যায়ক্রমিক ফাংশন ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। সহজ রূপান্তর ব্যবহার করে, আমরা নিম্নলিখিত ফলাফল পেতে পারি:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} গণিত {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { সারিবদ্ধ}}}$
   • আপনি দেখতে পাচ্ছেন, একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের ক্ষেত্রে, এটি একটি সময়ের জন্য ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম সম্পাদন করার জন্য যথেষ্ট।
2. 2 প্রাকৃতিক লগারিদমের জন্য ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম সম্পাদন করুন। এই ক্ষেত্রে, অবিচ্ছেদ্য প্রাথমিক ফাংশন আকারে প্রকাশ করা যাবে না। গামা ফাংশন এবং এর সিরিজ সম্প্রসারণ ব্যবহার করে আপনি প্রাকৃতিক লগারিদম এবং এর ডিগ্রী অনুমান করতে পারবেন। অয়লার-মাসচেরোনির ধ্রুবক উপস্থিতি ${ displaystyle gamma}$ দেখায় যে এই অবিচ্ছেদ্য অনুমান করার জন্য, একটি সিরিজ সম্প্রসারণ ব্যবহার করা প্রয়োজন।
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 অস্বাভাবিক সিনক ফাংশনের ল্যাপ্লেস রূপান্তর বিবেচনা করুন। ফাংশন ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ সিগন্যাল প্রক্রিয়াকরণের জন্য ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে এটি প্রথম ধরনের গোলাকার বেসেল ফাংশনের সমান এবং শূন্য অর্ডারের ${ displaystyle j_ {0} (x)।}$ এই ফাংশনের ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মও স্ট্যান্ডার্ড পদ্ধতি দ্বারা গণনা করা যায় না। এই ক্ষেত্রে, সিরিজের পৃথক সদস্যদের রূপান্তর, যা পাওয়ার ফাংশন, বাহিত হয়, তাই তাদের রূপান্তরগুলি অবশ্যই একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে একত্রিত হয়।
   • প্রথমত, আমরা একটি টেলর সিরিজে ফাংশনের সম্প্রসারণ লিখি:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • এখন আমরা একটি পাওয়ার ফাংশনের ইতোমধ্যে পরিচিত ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করি। ফ্যাক্টরিয়ালগুলি বাতিল করা হয়েছে, এবং ফলস্বরূপ আমরা আর্কট্যানজেন্টের জন্য টেলর সম্প্রসারণ পাই, অর্থাৎ একটি বিকল্প সিরিজ যা সাইন এর জন্য টেলর সিরিজের অনুরূপ, কিন্তু ফ্যাক্টরিয়াল ছাড়া:
     • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {aligned}}}$