কন্টেন্ট

• ধাপ
• 3 এর পদ্ধতি 1: ধ্রুবক মেয়াদ ছাড়াই কিভাবে ঘন ঘন সমীকরণ সমাধান করা যায়
• 3 এর মধ্যে পদ্ধতি 2: কিভাবে মাল্টিপ্লায়ার ব্যবহার করে পুরো শিকড় খুঁজে বের করতে হয়
• 3 এর পদ্ধতি 3: বৈষম্যমূলক ব্যবহার করে কীভাবে একটি সমীকরণ সমাধান করা যায়

একটি ঘন সমীকরণে, সর্বোচ্চ সূচক 3, এই ধরনের সমীকরণের 3 টি শিকড় (সমাধান) আছে এবং এর ফর্ম আছে ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... কিছু ঘন সমীকরণ সমাধান করা এত সহজ নয়, কিন্তু যদি আপনি সঠিক পদ্ধতি (ভাল তাত্ত্বিক পটভূমি সহ) প্রয়োগ করেন, আপনি এমনকি সবচেয়ে জটিল ঘন সমীকরণের শিকড় খুঁজে পেতে পারেন - এর জন্য চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধানের সূত্রটি ব্যবহার করুন, পুরো শিকড়, বা বৈষম্যমূলক গণনা করুন।

ধাপ

3 এর পদ্ধতি 1: ধ্রুবক মেয়াদ ছাড়াই কিভাবে ঘন ঘন সমীকরণ সমাধান করা যায়

1. 1 ঘন সমীকরণে একটি মুক্ত শব্দ আছে কিনা তা খুঁজে বের করুন ঘ{ displaystyle d}. ঘন সমীকরণের ফর্ম আছে ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... একটি সমীকরণকে কিউবিক বলে গণ্য করার জন্য, এটি যথেষ্ট যে শুধুমাত্র শব্দটি ${ displaystyle x ^ {3}}$ (অর্থাৎ, অন্য কোন সদস্য হতে পারে না)।
   • যদি সমীকরণের একটি মুক্ত শব্দ থাকে ${ displaystyle d}$, একটি ভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করুন।
   • যদি সমীকরণে ${ displaystyle a = 0}$, এটা কিউবিক নয়।
2. 2 বন্ধনী থেকে বের করুন এক্স{ displaystyle x}. যেহেতু সমীকরণে কোন মুক্ত পদ নেই, তাই সমীকরণের প্রতিটি পদে পরিবর্তনশীল রয়েছে ${ displaystyle x}$... এর মানে হল যে এক ${ displaystyle x}$ সমীকরণ সহজ করার জন্য বন্ধনী থেকে বাদ দেওয়া যেতে পারে। সুতরাং, সমীকরণটি এভাবে লেখা হবে: ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • উদাহরণস্বরূপ, একটি ঘন সমীকরণ দেওয়া ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • বের করে নিন ${ displaystyle x}$ বন্ধনী এবং পান ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 ফ্যাক্টর (দুটি দ্বিপদের গুণফল) চতুর্ভুজ সমীকরণ (যদি সম্ভব হয়)। ফর্মের অনেক চতুর্ভুজ সমীকরণ ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ ফ্যাক্টরাইজ করা যায়। আমরা যদি বের করি তবে এই জাতীয় সমীকরণ চালু হবে ${ displaystyle x}$ বন্ধনীর বাইরে। আমাদের উদাহরণে:
   • বন্ধনী থেকে বের করুন ${ displaystyle x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • চতুর্ভুজ সমীকরণ ফ্যাক্টর: ${ displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • প্রতিটি বিন সমান ${ displaystyle 0}$... এই সমীকরণের শিকড় হল ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 একটি বিশেষ সূত্র ব্যবহার করে একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধান করুন। চতুর্ভুজ সমীকরণকে ফ্যাক্টরাইজ করা না গেলে এটি করুন। একটি সমীকরণের দুটি শিকড় খুঁজতে, সহগের মান ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ সূত্রের বিকল্প ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • আমাদের উদাহরণে, সহগের মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ (${ ডিসপ্লে স্টাইল 3}$, ${ displaystyle -2}$, ${ ডিসপ্লে স্টাইল 14}$) সূত্রে:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • প্রথম মূল:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • দ্বিতীয় মূল:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 ঘন সমীকরণের সমাধান হিসাবে শূন্য এবং চতুর্ভুজ মূল ব্যবহার করুন। চতুর্ভুজ সমীকরণের দুটি শিকড় রয়েছে, যখন ঘনগুলির তিনটি। আপনি ইতিমধ্যে দুটি সমাধান খুঁজে পেয়েছেন - এগুলি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল। যদি আপনি বন্ধনীর বাইরে "x" রাখেন, তাহলে তৃতীয় সমাধানটি হবে ${ displaystyle 0}$.
   • যদি আপনি বন্ধনী থেকে "x" বের করেন, তাহলে আপনি পাবেন ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, যে, দুটি কারণ: ${ displaystyle x}$ এবং বন্ধনীতে একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ। যদি এই ফ্যাক্টরগুলির মধ্যে কোনটি হয় ${ displaystyle 0}$, পুরো সমীকরণটিও সমান ${ displaystyle 0}$.
   • সুতরাং, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি মূল হল একটি ঘন সমীকরণের সমাধান। তৃতীয় সমাধান হল ${ displaystyle x = 0}$.

3 এর মধ্যে পদ্ধতি 2: কিভাবে মাল্টিপ্লায়ার ব্যবহার করে পুরো শিকড় খুঁজে বের করতে হয়

1. 1 কিউবিক সমীকরণে একটি মুক্ত শব্দ আছে তা নিশ্চিত করুন ঘ{ displaystyle d}. যদি ফর্মের সমীকরণে ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ একজন ফ্রি মেম্বার আছে ${ displaystyle d}$ (যা শূন্যের সমান নয়), এটি বন্ধনীগুলির বাইরে "x" বসাতে কাজ করবে না। এই ক্ষেত্রে, এই বিভাগে বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করুন।
   • উদাহরণস্বরূপ, একটি ঘন সমীকরণ দেওয়া ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... সমীকরণের ডান দিকে শূন্য পেতে, যোগ করুন ${ ডিসপ্লে স্টাইল 6}$ সমীকরণের উভয় দিকে।
   • সমীকরণ চালু হবে ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... যেমন ${ displaystyle d = 6}$, প্রথম বিভাগে বর্ণিত পদ্ধতি ব্যবহার করা যাবে না।
2. 2 সহগের গুণকগুলো লিখ ক{ displaystyle a} এবং একজন বিনামূল্যে সদস্য ঘ{ displaystyle d}. অর্থাৎ, সংখ্যার গুণিতকগুলি খুঁজুন ${ displaystyle x ^ {3}}$ এবং সমান চিহ্নের আগে সংখ্যা। মনে রাখবেন যে একটি সংখ্যার গুণক হল সেই সংখ্যাগুলি, যা গুণ করলে, সেই সংখ্যাটি উৎপন্ন করে।
   • উদাহরণস্বরূপ, নম্বর পেতে 6, আপনাকে গুণ করতে হবে ${ ডিসপ্লে স্টাইল 6 বার 1}$ এবং ${ displaystyle 2 times 3}$... সুতরাং সংখ্যা 1, 2, 3, 6 সংখ্যার গুণক 6.
   • আমাদের সমীকরণে ${ displaystyle a = 2}$ এবং ${ displaystyle d = 6}$... গুণক 2 হয় 1 এবং 2... গুণক 6 সংখ্যা হল 1, 2, 3 এবং 6.
3. 3 প্রতিটি ফ্যাক্টর ভাগ করুন ক{ displaystyle a} প্রতিটি ফ্যাক্টরের জন্য ঘ{ displaystyle d}. ফলস্বরূপ, আপনি প্রচুর ভগ্নাংশ এবং বেশ কয়েকটি পূর্ণসংখ্যা পান; ঘন সমীকরণের শিকড় হবে একটি পূর্ণসংখ্যা বা পূর্ণসংখ্যার একটির negativeণাত্মক মান।
   • আমাদের উদাহরণে, ফ্যাক্টরগুলি ভাগ করুন ${ displaystyle a}$ (1 এবং 2) কারণ দ্বারা ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 এবং 6)। তুমি পাবে: ${ ডিসপ্লে স্টাইল 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ এবং ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... এখন এই তালিকায় প্রাপ্ত ভগ্নাংশ এবং সংখ্যার নেতিবাচক মান যোগ করুন: ${ ডিসপ্লে স্টাইল 1}$, ${ displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ এবং ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... ঘন সমীকরণের পুরো শিকড় এই তালিকা থেকে কিছু সংখ্যা।
4. 4 ঘন সমীকরণে পূর্ণসংখ্যা প্লাগ করুন। যদি সমতা সত্য হয়, তাহলে প্রতিস্থাপিত সংখ্যা হল সমীকরণের মূল। উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন ${ ডিসপ্লে স্টাইল 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, অর্থাৎ সমতা পরিলক্ষিত হয় না। এই ক্ষেত্রে, পরবর্তী নম্বরটি প্লাগ করুন।
   • বিকল্প ${ displaystyle -1}$: ${ displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. সুতরাং, ${ displaystyle -1}$ সমীকরণের পুরো মূল।
5. 5 দ্বারা বহুবচন ভাগ করার পদ্ধতি ব্যবহার করুন হর্নারের স্কিমদ্রুত সমীকরণের শিকড় খুঁজে পেতে। আপনি যদি সমীকরণে সংখ্যাগুলি ম্যানুয়ালি প্রতিস্থাপন করতে না চান তবে এটি করুন। হর্নারের যোজনায়, পূর্ণসংখ্যা সমীকরণের সহগের মান দ্বারা বিভক্ত ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ এবং ${ displaystyle d}$... যদি সংখ্যাগুলি সমানভাবে বিভাজ্য হয় (অর্থাৎ, বাকিগুলি হল ${ displaystyle 0}$), একটি পূর্ণসংখ্যা হল সমীকরণের মূল।
   • হর্নারের স্কিমটি একটি পৃথক নিবন্ধের যোগ্য, কিন্তু এই স্কিমটি ব্যবহার করে আমাদের ঘন সমীকরণের একটি শিকড় গণনার একটি উদাহরণ নিম্নরূপ:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • তাই বাকি আছে ${ displaystyle 0}$, কিন্তু ${ displaystyle -1}$ সমীকরণের মূলগুলির মধ্যে একটি।

3 এর পদ্ধতি 3: বৈষম্যমূলক ব্যবহার করে কীভাবে একটি সমীকরণ সমাধান করা যায়

1. 1 সমীকরণের সহগের মান লিখ ক{ displaystyle a}, খ{ displaystyle b}, গ{ displaystyle c} এবং ঘ{ displaystyle d}. আমরা পরামর্শ দিচ্ছি যে আপনি নির্দেশিত সহগের মানগুলি আগেই লিখে রাখুন যাতে ভবিষ্যতে বিভ্রান্ত না হন।
   • উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ দেওয়া ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... লেখ ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ এবং ${ displaystyle d = -1}$... আগে মনে রাখবেন ${ displaystyle x}$ কোন সংখ্যা নেই, সংশ্লিষ্ট সহগ এখনও বিদ্যমান এবং সমান ${ ডিসপ্লে স্টাইল 1}$.
2. 2 একটি বিশেষ সূত্র ব্যবহার করে শূন্য বৈষম্যমূলক হিসাব করুন। বৈষম্যমূলক ব্যবহার করে একটি ঘন সমীকরণ সমাধান করতে, আপনাকে বেশ কয়েকটি কঠিন গণনা করতে হবে, তবে আপনি যদি সমস্ত পদক্ষেপ সঠিকভাবে সম্পাদন করেন তবে এই পদ্ধতিটি সবচেয়ে জটিল ঘন সমীকরণ সমাধানের জন্য অপরিহার্য হয়ে উঠবে। প্রথম গণনা ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (শূন্য বৈষম্যমূলক) হল আমাদের প্রথম মান; এটি করার জন্য, সূত্রের সংশ্লিষ্ট মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • বৈষম্যকারী একটি সংখ্যা যা একটি বহুপদী শিকড়কে চিহ্নিত করে (উদাহরণস্বরূপ, একটি চতুর্ভুজ সমীকরণের বৈষম্য সূত্র দ্বারা গণনা করা হয় ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • আমাদের সমীকরণে:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ ডিসপ্লে স্টাইল 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 সূত্র ব্যবহার করে প্রথম বৈষম্যমূলক গণনা করুন Δ1=2খ3−9কখগ+27ক2ঘ{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. প্রথম বৈষম্যমূলক ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - এটি দ্বিতীয় গুরুত্বপূর্ণ মান; এটি গণনা করার জন্য, সংশ্লিষ্ট সূত্রগুলিকে নির্দিষ্ট সূত্রে প্লাগ করুন।
   • আমাদের সমীকরণে:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 গণনা করুন:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... অর্থাৎ, প্রাপ্ত মানগুলির মাধ্যমে ঘন সমীকরণের বৈষম্য খুঁজে বের করুন ${ displaystyle Delta _ {0}}$ এবং ${ displaystyle Delta _ {1}}$... যদি একটি ঘন সমীকরণের বৈষম্য ধনাত্মক হয়, সমীকরণের তিনটি মূল আছে; যদি বৈষম্যমূলক শূন্য হয়, সমীকরণের এক বা দুটি শিকড় আছে; যদি বৈষম্যমূলক নেতিবাচক হয়, সমীকরণের একটি মূল আছে।
   • একটি ঘন সমীকরণের সর্বদা কমপক্ষে একটি মূল থাকে, যেহেতু এই সমীকরণের গ্রাফটি অন্তত একটি বিন্দুতে X- অক্ষকে ছেদ করে।
   • আমাদের সমীকরণে ${ displaystyle Delta _ {0}}$ এবং ${ displaystyle Delta _ {1}}$ সমান ${ displaystyle 0}$, যাতে আপনি সহজেই হিসাব করতে পারেন ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... সুতরাং, আমাদের সমীকরণের এক বা দুটি শিকড় রয়েছে।

5. 5 গণনা করুন:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } ডান) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - এটি পাওয়া শেষ গুরুত্বপূর্ণ পরিমাণ; এটি আপনাকে সমীকরণের শিকড় গণনা করতে সাহায্য করবে। নির্দিষ্ট সূত্রে মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন ${ displaystyle Delta _ {1}}$ এবং ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • আমাদের সমীকরণে:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 সমীকরণের তিনটি মূল খুঁজুন। ফর্মুলা দিয়ে করুন ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, কোথায় ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, কিন্তু n সমান 1, 2 অথবা 3... এই সূত্রে যথাযথ মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন - ফলস্বরূপ, আপনি সমীকরণের তিনটি মূল পাবেন।
   • এ সূত্র ব্যবহার করে মান গণনা করুন n = 1, 2 অথবা 3এবং তারপর উত্তর চেক করুন। আপনি যদি আপনার উত্তর চেক করার সময় 0 পান তবে এই মানটি সমীকরণের মূল।
   • আমাদের উদাহরণে, বিকল্প 1 ভিতরে ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ এবং পেতে 0, যেমন 1 সমীকরণের মূলগুলির মধ্যে একটি।