কন্টেন্ট

• ধাপ
• পরামর্শ

Ax + bx + c অথবা a (x - h) + k ফর্মের একটি চতুর্ভুজ সমীকরণের গ্রাফ একটি প্যারাবোলা (U- আকৃতির বক্ররেখা)। এই ধরনের সমীকরণ চক্রান্ত করার জন্য, আপনাকে প্যারাবোলার শিরোনাম, এর দিক এবং X এবং Y অক্ষের সাথে ছেদ করার বিন্দু খুঁজে বের করতে হবে। "এর মধ্যে," y "এর সংশ্লিষ্ট মানগুলি খুঁজুন এবং একটি গ্রাফ তৈরি করুন ...

ধাপ

1. 1 চতুর্ভুজ সমীকরণটি একটি প্রমিত আকারে এবং একটি অ-মানক আকারে লেখা যেতে পারে। আপনি একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ (প্লট করার পদ্ধতি কিছুটা ভিন্ন) চক্রান্ত করতে যেকোনো ধরনের সমীকরণ ব্যবহার করতে পারেন। একটি নিয়ম হিসাবে, সমস্যাগুলিতে, চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি একটি আদর্শ আকারে দেওয়া হয়, তবে এই নিবন্ধটি আপনাকে উভয় ধরনের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ লেখার বিষয়ে বলবে।
   • স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম: f (x) = ax + bx + c, যেখানে a, b, c হল বাস্তব সংখ্যা এবং a ≠ 0।
     • উদাহরণস্বরূপ, স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের দুটি সমীকরণ: f (x) = x + 2x + 1 এবং f (x) = 9x + 10x -8।
   • নন -স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম: f (x) = a (x - h) + k, যেখানে a, h, k প্রকৃত সংখ্যা এবং a ≠ 0।
     • উদাহরণস্বরূপ, একটি অ -মানক ফর্মের দুটি সমীকরণ: f (x) = 9 (x - 4) + 18 এবং -3 (x - 5) + 1।
   • যে কোন ধরনের একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ চক্রান্ত করতে, আপনাকে প্রথমে প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দু খুঁজে বের করতে হবে, যার সমন্বয় (h, k) রয়েছে। স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের সমীকরণে প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়: h = -b / 2a এবং k = f (h); একটি অ-মানক ফর্মের সমীকরণে প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুর কোঅর্ডিনেটগুলি সরাসরি সমীকরণগুলি থেকে পাওয়া যেতে পারে।
2. 2 গ্রাফ চক্রান্ত করতে, আপনাকে a, b, c (অথবা a, h, k) সহগের সংখ্যাসূচক মান বের করতে হবে। বেশিরভাগ সমস্যায়, সহগের সংখ্যাসূচক মান দিয়ে চতুর্ভুজ সমীকরণ দেওয়া হয়।
   • উদাহরণস্বরূপ, মান সমীকরণে f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2, b = 16, c = 39।
   • উদাহরণস্বরূপ, একটি অ -মানক সমীকরণে f (x) = 4 (x - 5) + 12, a = 4, h = 5, k = 12।
3. 3 সূত্র ব্যবহার করে প্রমিত সমীকরণে (অ-মানদণ্ডে এটি ইতিমধ্যেই দেওয়া আছে) গণনা করুন: h = -b / 2a।
   • আমাদের আদর্শ সমীকরণের উদাহরণে, f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4।
   • আমাদের একটি অ -মানক সমীকরণের উদাহরণে, f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5।
4. 4 মান সমীকরণে k গণনা করুন (অ-মানদণ্ডে এটি ইতিমধ্যেই দেওয়া আছে)। মনে রাখবেন k = f (h), অর্থাৎ মূল সমীকরণে "x" এর পরিবর্তে h এর পাওয়া মানকে প্রতিস্থাপন করে আপনি k খুঁজে পেতে পারেন।
   • আপনি পেয়েছেন যে h = -4 (মান সমীকরণের জন্য)। কে গণনা করতে, "x" এর জন্য এই মানটি প্রতিস্থাপন করুন:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39।
     • k = 2 (16) - 64 + 39।
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • একটি অ-মানক সমীকরণে, k = 12।
5. 5 স্থানাঙ্ক সমতলে স্থানাঙ্ক (h, k) সহ একটি শীর্ষবিন্দু আঁকুন। h কে X- অক্ষ বরাবর প্লট করা হয় এবং k- কে Y- অক্ষ বরাবর প্লট করা হয়। একটি প্যারাবোলার শীর্ষে হয় সর্বনিম্ন বিন্দু (যদি প্যারাবোলা উপরের দিকে থাকে) অথবা সর্বোচ্চ বিন্দু (যদি প্যারাবোলা নিচের দিকে নির্দেশ করে)।
   • আমাদের মান সমীকরণের উদাহরণে, শিরোনামটির স্থানাঙ্ক রয়েছে (-4, 7)। স্থানাঙ্ক সমতলে এই বিন্দুটি আঁকুন।
   • আমাদের একটি কাস্টম সমীকরণের উদাহরণে, শীর্ষবিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে (5, 12)। স্থানাঙ্ক সমতলে এই বিন্দুটি আঁকুন।
6. 6 প্যারাবোলার প্রতিসাম্যের অক্ষ আঁকুন (alচ্ছিক)। প্রতিসাম্যের অক্ষ Y অক্ষের সমান্তরাল প্যারাবোলার শীর্ষের মধ্য দিয়ে যায় (অর্থাৎ কঠোরভাবে উল্লম্ব)। প্রতিসাম্যের অক্ষ প্যারাবোলাকে অর্ধেক ভাগ করে দেয় (অর্থাৎ, প্যারাবোলা এই অক্ষ সম্পর্কে আয়না-প্রতিসম)।
   • আমাদের উদাহরণ মান সমীকরণে, প্রতিসাম্যের অক্ষ হল Y অক্ষের সমান্তরাল একটি বিন্দু এবং বিন্দু (-4, 7) এর মধ্য দিয়ে যাওয়া। যদিও এই লাইনটি প্যারাবোলার অংশ নয়, এটি প্যারাবোলার প্রতিসাম্যের ধারণা দেয়।
7. 7 প্যারাবোলার দিক নির্ধারণ করুন - উপরে বা নিচে। এটি করা খুবই সহজ।যদি গুণক "a" ধনাত্মক হয়, তাহলে প্যারাবোলাটি wardর্ধ্বমুখী হয় এবং যদি "a" negativeণাত্মক হয়, তাহলে প্যারাবোলাটি নিচের দিকে পরিচালিত হয়।
   • আমাদের আদর্শ সমীকরণের উদাহরণে, f (x) = 2x + 16x + 39, প্যারাবোলা নির্দেশ করছে, যেহেতু a = 2 (ধনাত্মক সহগ)।
   • আমাদের অ -মানক সমীকরণের উদাহরণ f (x) = 4 (x - 5) + 12, প্যারাবোলাটিও উপরের দিকে নির্দেশিত হয়, যেহেতু a = 4 (ধনাত্মক সহগ)।
8. 8 প্রয়োজনে, এক্স-ইন্টারসেপ্টটি সনাক্ত করুন এবং চক্রান্ত করুন। একটি প্যারাবোলা আঁকার সময় এই পয়েন্টগুলি আপনাকে অনেক সাহায্য করবে। দুটি, এক বা কোনটিই হতে পারে (যদি প্যারাবোলা উপরের দিকে পরিচালিত হয় এবং এর শীর্ষবিন্দু এক্স-অক্ষের উপরে থাকে, বা যদি প্যারাবোলাটি নিচের দিকে পরিচালিত হয় এবং এর শীর্ষবিন্দু এক্স-অক্ষের নীচে থাকে)। এক্স-অক্ষের সাথে ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক গণনা করতে, নিম্নলিখিতগুলি করুন:
   • সমীকরণটি শূন্যে সেট করুন: f (x) = 0 এবং এটি সমাধান করুন। এই পদ্ধতিটি সহজ চতুর্ভুজ সমীকরণগুলির (বিশেষত অ-মানসম্মত) সঙ্গে কাজ করে, কিন্তু জটিল সমীকরণের জন্য অত্যন্ত কঠিন হতে পারে। আমাদের উদাহরণে:
     • f (x) = 4 (x - 12) - 4
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • √1 = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12। এক্স-অক্ষের সাথে প্যারাবোলার ছেদ বিন্দুগুলির সমন্বয় (11,0) এবং (13,0) রয়েছে।
   • স্ট্যান্ডার্ড-ফর্ম চতুর্ভুজ সমীকরণটি ফ্যাক্টর করুন: ax + bx + c = (dx + e) ​​(fx + g), যেখানে dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx, e × g = গ। তারপর প্রতিটি দ্বিপদ 0 এ সেট করুন এবং "x" এর মান খুঁজুন। উদাহরণ স্বরূপ:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • এই ক্ষেত্রে, প্যারাবোলার সংযোগস্থলের একক বিন্দু x-axis সহ স্থানাঙ্ক (-1,0) আছে, কারণ x + 1 = 0 x = -1 এ।
   • যদি আপনি সমীকরণটি নির্ণয় করতে না পারেন, তাহলে চতুর্ভুজ সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করুন: x = (-b +/- √ (b- 4ac)) / 2a।
     • উদাহরণস্বরূপ: -5x + 1x + 10।
     • x = (-1 +/- √ (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- √ (1 + 200)) /- 10
     • x = (-1 +/- √ (201)) /- 10
     • x = (-1 +/- 14.18) /- 10
     • x = (13.18 / -10) এবং (-15.18 / -10)। X অক্ষের সাথে প্যারাবোলার ছেদ বিন্দুগুলির সমন্বয় (-1,318,0) এবং (1,518,0) রয়েছে।
     • আমাদের উদাহরণে, স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম 2x + 16x + 39 এর সমীকরণ:
     • x = (-16 +/- √ (16- 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- √ (256- 312)) / 4
     • x = (-16 +/- √ (-56) /- 10
     • যেহেতু negativeণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল বের করা অসম্ভব, সেক্ষেত্রে প্যারাবোলা X- অক্ষকে ছেদ করে না।
9. 9 প্রয়োজন অনুসারে ওয়াই-ইন্টারসেপ্ট সনাক্ত করুন এবং চক্রান্ত করুন। এটি খুব সহজ - মূল সমীকরণে x = 0 প্লাগ করুন এবং "y" এর মান খুঁজুন। Y- ইন্টারসেপ্ট সবসময় একই। দ্রষ্টব্য: স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের সমীকরণগুলিতে, ছেদ বিন্দুতে স্থানাঙ্ক (0, গুলি) রয়েছে।
   • উদাহরণস্বরূপ, চতুর্ভুজ সমীকরণ 2x + 16x + 39 এর প্যারাবোলা Y- অক্ষের সাথে বিন্দুতে কোঅর্ডিনেট (0, 39) দিয়ে ছেদ করে, যেহেতু c = 39. কিন্তু এটি গণনা করা যেতে পারে:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39, অর্থাৎ এই চতুর্ভুজ সমীকরণের প্যারাবোলা Y- অক্ষকে স্থানাঙ্ক (0, 39) দিয়ে বিন্দুতে ছেদ করে।
   • আমাদের একটি অ-মানক সমীকরণের উদাহরণ 4 (x-5) + 12 এ, y-intercept গণনা করা হয় নিম্নরূপ:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112, অর্থাৎ, এই চতুর্ভুজ সমীকরণের প্যারাবোলা Y- অক্ষকে স্থানাঙ্ক (0, 112) দিয়ে বিন্দুতে ছেদ করে।
10. 10 আপনি প্যারাবোলার শিরোনাম, তার দিক এবং X এবং Y অক্ষের সাথে ছেদ বিন্দুগুলি খুঁজে পেয়েছেন (এবং চক্রান্ত করেছেন)। আপনি এই পয়েন্টগুলি থেকে প্যারাবোলাস তৈরি করতে পারেন বা অতিরিক্ত পয়েন্টগুলি খুঁজে পেতে এবং চক্রান্ত করতে পারেন এবং কেবল তখনই একটি প্যারাবোলা তৈরি করতে পারেন। এটি করার জন্য, সংশ্লিষ্ট y মানগুলি গণনা করার জন্য মূল সমীকরণে একাধিক x মান (শিরোনামের উভয় পাশে) প্লাগ করুন।
    • আসুন x + 2x + 1 সমীকরণে ফিরে আসি আপনি ইতিমধ্যেই জানেন যে X- অক্ষের সাথে এই সমীকরণের গ্রাফের ছেদ বিন্দু হল স্থানাঙ্ক সহ বিন্দু (-1,0)। যদি প্যারাবোলার এক্স-অক্ষের সাথে ছেদ করার মাত্র একটি বিন্দু থাকে, তাহলে এটি এক্স-অক্ষের উপর পড়ে থাকা প্যারাবোলার শিরোনাম।এক্ষেত্রে, একটি প্যারাবোলার একটি নিয়মিত প্যারাবোলা তৈরির জন্য যথেষ্ট নয়। তাই কিছু অতিরিক্ত পয়েন্ট খুঁজুন।
      • ধরা যাক x = 0, x = 1, x = -2, x = -3।
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. বিন্দু স্থানাঙ্ক: (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. বিন্দু স্থানাঙ্ক: (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. বিন্দু স্থানাঙ্ক: (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. বিন্দু স্থানাঙ্ক: (-3,4).
      • সমন্বয় সমতলে এই বিন্দুগুলি আঁকুন এবং একটি প্যারাবোলা আঁকুন (পয়েন্টগুলিকে একটি ইউ-কার্ভ দিয়ে সংযুক্ত করুন)। অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন যে প্যারাবোলা একেবারে প্রতিসম - প্যারাবোলার একটি শাখার যেকোনো বিন্দু প্যারাবোলার অন্য শাখায় প্রতিবিম্বিত হতে পারে (প্রতিসম অক্ষের সাথে সম্পর্কিত)। এটি আপনার সময় সাশ্রয় করবে, যেহেতু আপনাকে প্যারাবোলার উভয় শাখার পয়েন্টের স্থানাঙ্ক গণনা করতে হবে না।

পরামর্শ

• ভগ্নাংশ সংখ্যাগুলি বন্ধ করুন (যদি এটি শিক্ষকের প্রয়োজন হয়) - এইভাবে আপনি একটি সঠিক প্যারাবোলা তৈরি করবেন।
• যদি f (x) = ax + bx + c এর সহগ b এবং c শূন্যের সমান হয়, তাহলে সমীকরণে এই সহগগুলির সাথে কোন পদ নেই।উদাহরণস্বরূপ, 12x + 0x + 6 হয়ে যায় 12x + 6 কারণ 0x হল 0।