কন্টেন্ট

• পদক্ষেপ

একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ হল ভ্যারিয়েবল ত্রিকোণমিত্রিক বক্ররেখা x এর এক বা একাধিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সহ একটি সমীকরণ। এক্স এর জন্য সমাধান করার অর্থ ত্রিকোণমিতিক বক্রের মানগুলি সন্ধান করা যার ট্রাইগনোমেট্রিক ক্রিয়াকলাপগুলির ফলে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সত্য হয়।

• সমাধান কার্ভের উত্তর বা মানগুলি ডিগ্রি বা রেডিয়ানে প্রকাশিত হয়। উদাহরণ:

x = পাই / 3; x = 5 পিআই / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 ডিগ্রি; x = 37.12 ডিগ্রি; x = 178.37 ডিগ্রি

• দ্রষ্টব্য: ইউনিট বৃত্তে, যে কোনও বক্ররের ত্রিকোণমিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি সংশ্লিষ্ট কোণের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সমান। ইউনিট বৃত্তটি পরিবর্তনশীল বক্র x এর সমস্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সংজ্ঞায়িত করে। এটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং বৈষম্য সমাধানের প্রমাণ হিসাবেও ব্যবহৃত হয়।
• ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের উদাহরণ:
  • sin x + sin 2x = 1/2; ট্যান এক্স + কট এক্স = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2 সিন 2x + কোস এক্স = 1।

1. ইউনিট বৃত্ত।
   • এটি ব্যাসার্ধ = 1 সহ একটি বৃত্ত, যেখানে হে উত্স। ইউনিট বৃত্তটি চলক বক্র x এর 4 টি প্রধান ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সংজ্ঞায়িত করে, যা এটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘূর্ণিত হয়।
   • যখন মান x সহ বক্ররেখা ইউনিট বৃত্তে পরিবর্তিত হয়, তখন হোল্ড করে:
   • অনুভূমিক অক্ষ OAx ট্রিগনোমেট্রিক ফাংশন f (x) = কোস এক্সকে সংজ্ঞায়িত করে।
   • উল্লম্ব অক্ষটি ওবি ট্রোনোমেট্রিক ফাংশন f (x) = sin x সংজ্ঞায়িত করে।
   • উল্লম্ব অক্ষ এটিটি ট্রিগনোমেট্রিক ফাংশন f (x) = ট্যান এক্সকে সংজ্ঞায়িত করে।
   • অনুভূমিক অক্ষ BU ট্রিগনোমেট্রিক ফাংশন f (x) = খাট এক্সকে সংজ্ঞায়িত করে।

• ইউনিট বৃত্তটি বৃত্তের বক্ররেখের বিভিন্ন অবস্থান বিবেচনা করে বেসিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং স্ট্যান্ডার্ড ত্রিকোণমিতিক বৈষম্যগুলি সমাধান করতেও ব্যবহৃত হয়।

পদক্ষেপ

1. সমাধান পদ্ধতিটি বুঝুন।
   • ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করতে আপনি এটিকে এক বা একাধিক বেসিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে রূপান্তর করেন। ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করার ফলে শেষ পর্যন্ত 4 টি বেসিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করা যায়।
2. বেসিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ কীভাবে সমাধান করবেন তা জানুন।
   • এখানে 4 টি বেসিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ রয়েছে:
   • sin x = a; cos x = a
   • ট্যান এক্স = এ; cot x = a
   • আপনি ত্রিকোণমিতিক বৃত্তে কার্ভ x এর বিভিন্ন অবস্থানের অধ্যয়ন করে এবং ত্রিকোণমিতিক রূপান্তর টেবিল (বা ক্যালকুলেটর) ব্যবহার করে বেসিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করতে পারেন। এই এবং এই জাতীয় অনুরূপ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করবেন তা পুরোপুরি বুঝতে, নীচের বইটি পড়ুন: "ত্রিকোণমিতি: সমাধান ত্রি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ এবং বৈষম্য" (অ্যামাজন ই-বুক 2010)।
   • উদাহরণ 1. পাপের জন্য সমাধান করুন x = 0.866। রূপান্তর সারণী (বা ক্যালকুলেটর) উত্তর দেয়: x = পাই / 3। ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত সাইন (0.866) এর একই মান সহ আরও একটি বক্ররেখা (২ পিআই / 3) দেয়। ত্রিকোণমিত্রিক চেনাশোনা বর্ধিত উত্তর হিসাবে উত্তরগুলির একটি অনন্ততা সরবরাহ করে।
   • x1 = পাই / 3 + 2 কে.পিআই এবং এক্স 2 = 2 পিআই / 3 (একটি সময়ের মধ্যে উত্তর (0, 2 পিআই))
   • x1 = পাই / 3 + 2 কে পাই, এবং x2 = 2 পিআই / 3 + 2 কে পাই। (বিস্তারিত উত্তর)
   • উদাহরণ 2. সমাধান করুন: কোস এক্স = -1/2। ক্যালকুলেটররা x = 2 পাই / 3 দেয়। ত্রিকোণমিতিক বৃত্তটি x = -2Pi / 3 দেয়।
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, এবং x2 = - 2Pi / 3। (পিরিয়ডের জন্য উত্তর (0, 2 পিআই))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2 কে পাই, এবং x2 = -2 পিআই / 3 + 2 কে পিপি (বর্ধিত উত্তর)
   • উদাহরণ 3. সমাধান করুন: ট্যান (এক্স - পাই / 4) = 0।
   • x = পাই / 4; (উত্তর)
   • x = পাই / 4 + কে পাই; (বর্ধিত উত্তর)
   • উদাহরণ 4. সমাধান করুন: খাট 2x = 1.732। ক্যালকুলেটর এবং ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত দেয়:
   • x = পাই / 12; (উত্তর)
   • x = পাই / 12 + কে পাই; (বর্ধিত উত্তর)
3. ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানে ব্যবহৃত রূপান্তরগুলি শিখুন।
   • প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক সমীকরণকে স্ট্যান্ডার্ড ত্রিকোণমিতিক সমীকরণে রূপান্তর করতে, স্ট্যান্ডার্ড বীজগণিত রূপান্তরগুলি (ফ্যাক্টরাইজেশন, সাধারণ ফ্যাক্টর, পলিনোমিয়ালস ...), সংজ্ঞা এবং ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির বৈশিষ্ট্য এবং ত্রিকোণমিতিক পরিচয় ব্যবহার করুন। প্রায় ৩১, ১৪ এর মধ্যে ত্রিগনোমেট্রিক পরিচয়, ১৯ থেকে ৩১, এটিকে রূপান্তর পরিচয়ও বলা হয়, কারণ এগুলি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের রূপান্তরকরণে ব্যবহৃত হয়। উপরের বইটি দেখুন।
   • উদাহরণ 5: ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 ট্রিগনোমেট্রিক পরিচয় ব্যবহার করে মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের প্রোডাক্টে রূপান্তরিত হতে পারে: 4cos x * sin (3x / 2) cos * cos (x / 2) = 0. সমাধান করার জন্য বেসিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি হ'ল: এক্স x = 0; sin (3x / 2) = 0; এবং কোস (x / 2) = 0।
4. ত্রিভুজমিত্রিক কার্যগুলি পরিচিত যার জন্য তীরচিহ্নগুলি সন্ধান করুন।
   • ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করবেন তা শিখার আগে আপনার ত্রিভুজমিত্রিক ক্রিয়াকলাপগুলি কীভাবে পরিচিত তা কীভাবে দ্রুত সন্ধান করতে হবে তা আপনার জানতে হবে। কার্ভের রূপান্তর মান (বা কোণ) ত্রিকোণমিতিক সারণী বা ক্যালকুলেটর দিয়ে নির্ধারণ করা যেতে পারে।
   • উদাহরণ: কোস x = 0.732 এর জন্য সমাধান করুন। ক্যালকুলেটরটি x = 42.95 ডিগ্রি সমাধান দেয়। ইউনিট বৃত্তটি কোস্টিনের জন্য একই মান সহ অন্যান্য বক্ররেখা দেয়।
5. ইউনিটের বৃত্তে উত্তরের চাপটি আঁকুন।
   • ইউনিট বৃত্তে সমাধান চিত্রিত করতে আপনি একটি গ্রাফ তৈরি করতে পারেন। এই বক্ররেখার শেষ পয়েন্টগুলি ত্রিকোণমিত্রিক বৃত্তের নিয়মিত বহুভুজ। কিছু উদাহরণ:
   • বক্রের শেষ বিন্দু x = পাই / 3 + কে। পাই / 2 ইউনিট বৃত্তের উপর একটি বর্গ।
   • X = পাই / 4 + কে.পি.আই / 3 এর বক্ররেখা ইউনিট বৃত্তের ষড়ভুজের স্থানাঙ্ক দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়।
6. কীভাবে ট্রিগনোমেট্রিক সমীকরণগুলি সমাধান করবেন তা শিখুন।
   • যদি প্রদত্ত ট্রিগনোমেট্রিক সমীকরণে কেবল একটি ত্রিকোণমিত্রিক ফাংশন থাকে, তবে এটি একটি মান ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ হিসাবে সমাধান করুন। যদি প্রদত্ত সমীকরণটিতে দুটি বা ততোধিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশন থাকে তবে সমীকরণ রূপান্তর করার বিকল্পগুলির উপর নির্ভর করে 2 টি সমাধান পদ্ধতি রয়েছে।
     • উ: পদ্ধতি ঘ।
   • ত্রিকোণমিতিক সমীকরণটি ফর্মের পণ্যতে রূপান্তর করুন: f (x) .g (x) = 0 বা f (x) .g (x) .h (x) = 0, যেখানে f (x), g (x) এবং এইচ (এক্স) হ'ল মৌলিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ।
   • উদাহরণ 6.. সমাধান করুন: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • সমাধান। পরিচয়টি ব্যবহার করে সমীকরণে পাপ 2x প্রতিস্থাপন করুন: sin 2x = 2 * sin x * cos x।
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. তারপরে 2 স্ট্যান্ডার্ড ত্রিকোণমিত্রিক ফাংশনগুলি সমাধান করুন: কোজ x = 0, এবং (sin x + 1) = 0।
   • উদাহরণ 7. সমাধান করুন: কোস এক্স + কোস 2x + কোস 3x = 0. (0 এক্স 2 পিআই)
   • সমাধান: ট্রিগনোমেট্রিক পরিচয় ব্যবহার করে এটিকে একটি প্রোডাক্টে রূপান্তর করুন: কোস 2x (2cos x + 1) = 0. এখন 2 বেসিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করুন: কোস 2x = 0, এবং (2cos x + 1) = 0।
   • উদাহরণ 8. সমাধান করুন: sin x - sin 3x = cos 2x। (0 x 2Pi)
   • সমাধান: ট্রিগনোমেট্রিক পরিচয় ব্যবহার করে এটিকে একটি প্রোডাক্টে রূপান্তর করুন: -cos 2x * (2 সিন x + 1) = 0. এখন 2 বেসিক ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করুন: 2x = 0, এবং (2 সিন x + 1) = 0।
     • বি পদ্ধতির ঘ।
   • কেবলমাত্র একটি ভেরিয়েবল হিসাবে অনন্য ট্রিগার ফাংশন সহ ট্রিগ সমীকরণকে ট্রিগ সমীকরণে রূপান্তর করে। একটি উপযুক্ত পরিবর্তনশীল কীভাবে চয়ন করবেন সে সম্পর্কে কয়েকটি টিপস রয়েছে। সাধারণ ভেরিয়েবলগুলি হ'ল sin sin = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t এবং tan (x / 2) = t।
   • উদাহরণ 9. সমাধান করুন: 3 সিন ^ 2 এক্স - 2cos ^ 2 এক্স = 4 সিন এক্স + 7 (0 এক্স 2 পিআই)।
   • সমাধান। সমীকরণে (কোস ^ 2x) (1 - পাপ ^ 2x) এর সাথে প্রতিস্থাপন করুন এবং সমীকরণটি সরল করুন:
   • 3 সিন ^ 2 এক্স - 2 + 2 সিন ^ 2 এক্স - 4 সিন এক্স - 7 = 0. এখন সাইন এক্স = টি ব্যবহার করুন। সমীকরণটি হয়: 5 টি ^ 2 - 4 টি - 9 = 0. এটি 2 টি মূলের সাথে চতুর্ভুজ সমীকরণ: t1 = -1 এবং t2 = 9/5। আমরা দ্বিতীয় টি 2 কে প্রত্যাখ্যান করতে পারি, কারণ> ১। এখন এর জন্য সমাধান করুন: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2।
   • উদাহরণ 10. সমাধান করুন: ট্যান এক্স + 2 ট্যান ^ 2 এক্স = কট এক্স + 2।
   • সমাধান। ট্যান এক্স = টি ব্যবহার করুন। প্রদত্ত সমীকরণটিকে একটি ভেরিয়েবল হিসাবে টি দিয়ে একটি সমীকরণে রূপান্তর করুন: (2 টি + 1) (টি ^ 2 - 1) = 0. এই পণ্যটি থেকে টিয়ের জন্য সমাধান করুন, তারপরে x এর জন্য স্ট্যান্ডার্ড ত্রিকোনমিতি সমীকরণ টান x = টি সমাধান করুন।
7. বিশেষ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করুন।
   • কয়েকটি বিশেষ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ রয়েছে যার জন্য কিছু নির্দিষ্ট রূপান্তর প্রয়োজন। উদাহরণ:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. ট্রায়োনোমেট্রিক ফাংশনগুলির পর্যায়ক্রমিক বৈশিষ্ট্যগুলি শিখুন।
   • সমস্ত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন পর্যায়ক্রমিক, যার অর্থ তারা একটি পিরিয়ড ঘোরার পরে একই মানটিতে ফিরে আসে। উদাহরণ:
     • ফ (এক্স) = sin x ক্রিয়াকলাপ হিসাবে পিরিয়ড হিসাবে 2 পিআই রয়েছে।
     • ফ (এক্স) = ট্যান এক্স ফাংশনের পিরিয়ড হিসাবে রয়েছে।
     • ক্রিয়া f (x) = sin 2x সময়কাল হিসাবে পাই রয়েছে।
     • F (x) = cos (x / 2) ফাংশনটির পিরিয়ড হিসাবে 4Pi রয়েছে।
   • যদি সময়গুলি অনুশীলন / পরীক্ষায় নির্দিষ্ট করা থাকে, তবে আপনাকে এই সময়ের মধ্যে কেবল বক্ররেখা (গুলি) সন্ধান করতে হবে।
   • দ্রষ্টব্য: ত্রিকোণমিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করা কৌশলপূর্ণ এবং প্রায়শই ত্রুটি এবং ভুলের দিকে পরিচালিত করে। সুতরাং, উত্তরগুলি সতর্কতার সাথে পরীক্ষা করা উচিত। সমাধানের পরে, আপনি প্রদত্ত ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ আর (x) = 0 এর প্রত্যক্ষ উপস্থাপনের জন্য, গ্রাফিকিং ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে উত্তরগুলি পরীক্ষা করতে পারেন The উত্তর (বর্গমূল হিসাবে) দশমিক স্থানে দেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, পাইটির মান 3.14