কন্টেন্ট

• ধাপ
• পরামর্শ

যৌক্তিক ফাংশনটির ফর্ম y = N (x) / D (x) আছে, যেখানে N এবং D হল বহুপদী। এই ধরনের একটি ফাংশন সঠিকভাবে চক্রান্ত করার জন্য, আপনার বীজগণিতের একটি ভাল জ্ঞান প্রয়োজন, ডিফারেনশিয়াল গণনা সহ। নিম্নলিখিত উদাহরণ বিবেচনা করুন: y = (2এক্স - 6এক্স + 5)/(4এক্স + 2).

ধাপ

1. 1 গ্রাফের ওয়াই-ইন্টারসেপ্ট খুঁজুন। এটি করার জন্য, ফাংশনে x = 0 প্রতিস্থাপন করুন এবং y = 5/2 পান। সুতরাং, Y অক্ষের সাথে গ্রাফের ছেদ বিন্দুতে স্থানাঙ্ক রয়েছে (0, 5/2)।এই বিন্দুটি স্থানাঙ্ক সমতলে রাখুন।
2. 2 অনুভূমিক অ্যাসিম্পোটোটগুলি খুঁজুন। "X" এর মানগুলির সাথে "y" এর আচরণ নির্ণয় করার জন্য হর (একটি কলামে) দ্বারা সংখ্যাকে ভাগ করুন। আমাদের উদাহরণে, বিভাগটি হবে y = (1/2)এক্স - (7/4) + 17/(8এক্স + 4)। "X" 17 / (8) এর বড় ধনাত্মক বা নেতিবাচক মানের জন্যএক্স + 4) শূন্য হয়, এবং গ্রাফ ফাংশন দ্বারা প্রদত্ত সরলরেখার কাছে আসে y = (1/2)এক্স - (7/4)। বিন্দু লাইন ব্যবহার করে, এই ফাংশনটি চক্রান্ত করুন।
   • যদি সংখ্যার ডিগ্রী হরের ডিগ্রির চেয়ে কম হয়, তাহলে আপনি হর দ্বারা অংককে ভাগ করতে পারবেন না এবং অসম্পূর্ণতা ফাংশন দ্বারা বর্ণনা করা হবে এ = 0.
   • যদি অঙ্কের ডিগ্রী হর এর ডিগ্রির সমান হয়, তাহলে অ্যাসিম্পটোট হল একটি অনুভূমিক রেখা যা সর্বোচ্চ ডিগ্রীতে "x" এ সহগের অনুপাতের সমান।
   • যদি অঙ্কের ডিগ্রী হরের ডিগ্রির চেয়ে 1 বেশি হয়, তাহলে অ্যাসিম্পটোট হল একটি ঝুঁকিপূর্ণ সরলরেখা, যার opeাল "x" এর সহগের অনুপাতের সর্বোচ্চ ডিগ্রির সমান।
   • যদি অঙ্কের ডিগ্রী হর এর ডিগ্রির চেয়ে 2, 3, ইত্যাদি দ্বারা বড় হয়, তাহলে বড় মানের জন্য |এনএস| অর্থ এ একটি বহুবচনের বর্গ, ঘন বা অন্য ডিগ্রির আকারে অসীম (ইতিবাচক বা নেতিবাচক) প্রবণতা। এই ক্ষেত্রে, সম্ভবত, হর দ্বারা সংখ্যার ভাগ করে প্রাপ্ত ফাংশনের সঠিক গ্রাফ তৈরি করার প্রয়োজন নেই।
3. 3 ফাংশনের শূন্য খুঁজুন। একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশনে শূন্য থাকে যখন এর অংক শূন্য হয়, অর্থাৎ, N (এনএস) = 0. আমাদের উদাহরণে, 2এক্স - 6এক্স + 5 = 0. এই চতুর্ভুজ সমীকরণের বৈষম্যমূলক: খ - 4এসি = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4। যেহেতু বৈষম্যমূলক নেতিবাচক, তাই N (এনএস), এবং তাই F (এনএস) এর কোন প্রকৃত শিকড় নেই। একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের গ্রাফ X- অক্ষকে ছেদ করে না।
4. 4 উল্লম্ব উপসর্গগুলি খুঁজুন এটি করার জন্য, হর শূন্য সেট করুন। আমাদের উদাহরণে, 4এক্স + 2 = 0 এবং এনএস = -1/2। বিন্দুযুক্ত লাইন ব্যবহার করে উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোটটি প্লট করুন। যদি কিছু মূল্যের জন্য এনএস এন (এনএস) = 0 এবং ডি (এনএস) = 0, তাহলে উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোট হয় বিদ্যমান বা নেই
5. 5 হর দ্বারা বিভক্ত সংখ্যার বাকি অংশটি দেখুন। এটা কি ইতিবাচক, নেতিবাচক, নাকি শূন্য? আমাদের উদাহরণে, অবশিষ্ট 17, যা ইতিবাচক। হর 4এক্স উল্লম্ব অ্যাসিম্পোটোটের ডানদিকে + 2 ইতিবাচক এবং এর বাম দিকে নেতিবাচক। এর অর্থ হল বড় ধনাত্মক মানগুলির জন্য যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের গ্রাফ এনএস উপরে থেকে অ্যাসিম্পোটোটের কাছে, এবং বড় নেতিবাচক মানগুলির জন্য এনএস - নিচ থেকে. 17 / (8 থেকেএক্স + 4) কখনই শূন্যের সমান হয় না, তাহলে এই ফাংশনের গ্রাফ কখনোই ফাংশন দ্বারা নির্ধারিত সরলরেখাকে ছেদ করবে না এ = (1/2)এনএস - (7/4).
6. 6 স্থানীয় চরম সন্ধান করুন। একটি স্থানীয় চরম এন '(এক্স) ডি (এক্স) - এন (এক্স) ডি '(এক্স) = 0. আমাদের উদাহরণে, N '(এক্স) = 4এক্স - 6 এবং ডি '(এক্স) = 4. এন '(এক্স) ডি (এক্স) - এন (এক্স) ডি '(এক্স) = (4এক্স - 6)(4এক্স + 2) - (2এক্স - 6এক্স + 5)*4 = এক্স + এক্স - 4 = 0. এই সমীকরণটি সমাধান করে, আপনি এটি খুঁজে পান এক্স = 3/2 এবং এক্স = -5/2। (এগুলি পুরোপুরি সঠিক মান নয়, কিন্তু আমাদের ক্ষেত্রে উপযুক্ত যখন সুপারপ্রিসিশন প্রয়োজন হয় না।)
7. 7 মান খুঁজুন এ প্রতিটি স্থানীয় চরম জন্য। এটি করার জন্য, মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন এনএস মূল যৌক্তিক ফাংশনে। আমাদের উদাহরণে, f (3/2) = 1/16 এবং f (-5/2) = -65/16। স্থানাঙ্ক সমতলে পয়েন্ট (3/2, 1/16) এবং (-5/2, -65/16) সরিয়ে রাখুন। যেহেতু গণনাগুলি আনুমানিক মানগুলির উপর ভিত্তি করে (পূর্ববর্তী ধাপ থেকে), সর্বনিম্ন এবং সর্বাধিক পাওয়াও সম্পূর্ণ সঠিক নয় (তবে সম্ভবত সঠিক মানগুলির খুব কাছাকাছি)। (পয়েন্ট (3/2, 1/16) স্থানীয় নূন্যতমের খুব কাছাকাছি। ধাপ 3 থেকে শুরু করে আমরা জানি যে এ জন্য সবসময় ইতিবাচক এনএস> -1/2, এবং আমরা একটি ছোট মান (1/16) খুঁজে পেয়েছি; এইভাবে, এই ক্ষেত্রে ত্রুটির মান অত্যন্ত ছোট।)
8. 8 মুলতুবি থাকা পয়েন্টগুলিকে সংযুক্ত করুন এবং সহজেই গ্রাফটিকে অ্যাসিম্পোটোটস পর্যন্ত প্রসারিত করুন (অ্যাসিম্পোটোটের কাছে আসা গ্রাফের সঠিক দিক সম্পর্কে ভুলবেন না)। মনে রাখবেন গ্রাফটি X- অক্ষ অতিক্রম করবে না (ধাপ 3 দেখুন)। গ্রাফটি অনুভূমিক এবং উল্লম্ব অ্যাসিম্পোটোটের সাথে ছেদ করে না (ধাপ 5 দেখুন)। আগের ধাপে পাওয়া চরম পয়েন্ট ছাড়া চার্টের দিক পরিবর্তন করবেন না।

পরামর্শ

• যদি আপনি উপরের ধাপগুলি কঠোরভাবে অনুসরণ করেন, তাহলে আপনার সমাধানটি পরীক্ষা করার জন্য দ্বিতীয় ডেরিভেটিভস (বা অনুরূপ জটিল পরিমাণ) গণনার প্রয়োজন নেই।
• যদি আপনার পরিমাণের মান গণনা করার প্রয়োজন না হয়, তবে আপনি কিছু অতিরিক্ত জোড়া স্থানাঙ্ক গণনা করে স্থানীয় চরমতা খুঁজে বের করতে পারেন (এনএস, এ) প্রতিটি জোড়া অ্যাসিম্পোটোটের মধ্যে। তদুপরি, যদি বর্ণিত পদ্ধতিটি কীভাবে কাজ করে তা আপনি যদি যত্ন না করেন তবে অবাক হবেন না কেন আপনি ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে পারেন না এবং সমীকরণ N '(এক্স) ডি (এক্স) - এন (এক্স) ডি '(এক্স) = 0.
• কিছু ক্ষেত্রে, আপনাকে উচ্চতর অর্ডার বহুপদ নিয়ে কাজ করতে হবে। যদি আপনি ফ্যাক্টরাইজেশন, সূত্র ইত্যাদি ব্যবহার করে সঠিক সমাধান খুঁজে না পান, তাহলে নিউটনের পদ্ধতির মতো সংখ্যাসূচক পদ্ধতি ব্যবহার করে সম্ভাব্য সমাধানগুলি অনুমান করুন।
• বিরল ক্ষেত্রে, অংক এবং হর একটি সাধারণ পরিবর্তনশীল ফ্যাক্টর ভাগ করে। বর্ণিত ধাপ অনুযায়ী, এটি একই স্থানে শূন্য এবং একটি উল্লম্ব অ্যাসিম্পোটোটের দিকে নিয়ে যাবে। যাইহোক, এটি সম্ভব নয়, এবং ব্যাখ্যা নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে একটি:
  • N এ শূন্য (এনএসD এর শূন্যের চেয়ে বেশি গুণ আছে (এনএস)। গ্রাফ এফ (এনএস) এই সময়ে শূন্য হয়, কিন্তু সেখানে সংজ্ঞায়িত করা হয় না। বিন্দুর চারপাশে একটি বৃত্ত অঙ্কন করে এটি নির্দেশ করুন।
  • N এ শূন্য (এনএস) এবং D তে শূন্য (এনএস) একই গুণ আছে। এই মানটিতে গ্রাফ কিছু শূন্য বিন্দুতে পৌঁছায় এনএসকিন্তু এর মধ্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি। বিন্দুর চারপাশে একটি বৃত্ত অঙ্কন করে এটি নির্দেশ করুন।
  • N এ শূন্য (এনএসD এর শূন্যের চেয়ে কম গুণ আছে (এনএস)। এখানে একটি উল্লম্ব উপসর্গ আছে।