কন্টেন্ট

• ধাপ
• 3 এর মধ্যে পার্ট 1: সরলতার পরীক্ষা
• 3 এর অংশ 2: সরলতা পরীক্ষা কিভাবে কাজ করে
• 3 এর অংশ 3: চীনা অবশিষ্ট উপপাদ্য ব্যবহার করা
• পরামর্শ
• তোমার কি দরকার

মৌলিক সংখ্যা হল এমন সংখ্যা যা শুধুমাত্র নিজেদের দ্বারা এবং ১ দ্বারা বিভাজ্য। অন্য সব সংখ্যাকে যৌগিক সংখ্যা বলে। একটি সংখ্যা মৌলিক কিনা তা নির্ধারণ করার অনেকগুলি উপায় রয়েছে এবং তাদের সকলের নিজস্ব সুবিধা এবং অসুবিধা রয়েছে। একদিকে, কিছু পদ্ধতি খুব সঠিক, তবে সেগুলি বেশ জটিল যদি আপনি প্রচুর সংখ্যক কাজ করেন। অন্যদিকে, অনেক দ্রুত উপায় আছে, কিন্তু তারা ভুল ফলাফল হতে পারে। উপযুক্ত পদ্ধতির পছন্দ নির্ভর করে আপনি কত বড় সংখ্যা নিয়ে কাজ করছেন তার উপর।

ধাপ

3 এর মধ্যে পার্ট 1: সরলতার পরীক্ষা

বিঃদ্রঃ: সব সূত্রে n চেক করা সংখ্যা নির্দেশ করে।

1. 1 বিভাজকের গণনা। এটা ভাগ করার জন্য যথেষ্ট n 2 থেকে গোলাকার মান পর্যন্ত সমস্ত মৌলিক সংখ্যায় (${ displaystyle { sqrt {n}}}$).
2. 2 ফেরমেটের সামান্য উপপাদ্য। সতর্কতা: কখনও কখনও পরীক্ষাটি মিথ্যাভাবে যৌগিক সংখ্যাগুলিকে মৌলিক হিসাবে চিহ্নিত করবে, এমনকি a- এর সমস্ত মানের জন্য।
   • আসুন একটি পূর্ণসংখ্যা নির্বাচন করি কযেমন 2 ≤ a ≤ n - 1।
   • যদি a (mod n) = a (mod n) তাহলে সংখ্যাটি সম্ভবত মৌলিক। যদি সমতা সন্তুষ্ট না হয়, সংখ্যা n যৌগিক।
   • একাধিক মানের জন্য দেওয়া সমতা পরীক্ষা করুন কযে সংখ্যাটি পরীক্ষা করা হচ্ছে তা প্রকৃতপক্ষে মৌলিক।
3. 3 মিলার-রাবিন পরীক্ষা। সতর্কতা: কখনও কখনও, যদিও কদাচিৎ, a এর একাধিক মানগুলির জন্য, পরীক্ষাটি মিথ্যাভাবে যৌগিক সংখ্যাগুলিকে মৌলিক হিসাবে চিহ্নিত করবে।
   • S এবং d এর পরিমাণ খুঁজুন ${ displaystyle n-1 = 2 ^ {s} * d}$.
   • একটি পূর্ণসংখ্যা নির্বাচন করুন ক 2 ≤ a ≤ n - 1 পরিসরে।
   • যদি a = +1 (mod n) বা -1 (mod n), তাহলে n সম্ভবত প্রাইম। এই ক্ষেত্রে, পরীক্ষার ফলাফলে যান। যদি সমতা না থাকে, তাহলে পরবর্তী ধাপে যান।
   • আপনার উত্তরটি বর্গ করুন (${ displaystyle a ^ {2d}}$)। যদি আপনি -1 (mod n) পান, তাহলে n সম্ভবত একটি মৌলিক সংখ্যা। এই ক্ষেত্রে, পরীক্ষার ফলাফলে যান। যদি সমতা ব্যর্থ হয়, পুনরাবৃত্তি করুন (${ displaystyle a ^ {4d}}$ এবং তাই) পর্যন্ত ${ displaystyle a ^ {2 ^ {s-1} d}}$.
   • যদি কোন ধাপে অন্য কোন সংখ্যাকে বর্গ করার পর ${ displaystyle pm 1}$ (mod n), আপনি +1 (mod n) পেয়েছেন, তাই n একটি যৌগিক সংখ্যা। যদি ${ displaystyle a ^ {2 ^ {s-1} d} neq pm 1}$ (mod n), তাহলে n মৌলিক নয়।
   • পরীক্ষার ফলাফল: যদি n পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়, অন্যান্য মানগুলির জন্য এটি পুনরাবৃত্তি করুন কআত্মবিশ্বাস বাড়াতে।

3 এর অংশ 2: সরলতা পরীক্ষা কিভাবে কাজ করে

1. 1 বিভাজকের গণনা। সংজ্ঞা অনুযায়ী, সংখ্যা n এটি কেবল তখনই সহজ যখন এটি 2 এবং অন্যান্য পূর্ণসংখ্যা দ্বারা 1 এবং নিজে ছাড়া বিভাজ্য না হয়। উপরের সূত্রটি আপনাকে অপ্রয়োজনীয় পদক্ষেপগুলি অপসারণ করতে এবং সময় বাঁচাতে দেয়: উদাহরণস্বরূপ, একটি সংখ্যা 3 দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা যাচাই করার পরে, এটি 9 দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা পরীক্ষা করার দরকার নেই।
   • মেঝে (x) ফাংশনটি x এর কাছাকাছি পূর্ণসংখ্যা x এর কম বা সমান হয়।
2. 2 মডুলার গাণিতিক সম্পর্কে জানুন। অপারেশন "x mod y" (mod হল ল্যাটিন শব্দ "modulo" এর সংক্ষিপ্ত রূপ, অর্থাৎ "module") এর অর্থ হল "x দ্বারা y কে ভাগ করুন এবং বাকিটা বের করুন।" অন্য কথায়, মডুলার গাণিতিকভাবে, একটি নির্দিষ্ট মান পৌঁছানোর পর, যাকে বলা হয় মডিউল, সংখ্যাগুলি আবার "শূন্য" হয়ে যায়। উদাহরণস্বরূপ, ঘড়িটি মডিউল 12 দিয়ে গণনা করা হয়: এটি 10, 11 এবং 12 ঘন্টা দেখায় এবং তারপরে 1 এ ফিরে আসে।
   • অনেক ক্যালকুলেটরে একটি মোড কী থাকে। এই বিভাগের শেষটি আপনাকে দেখায় কিভাবে ম্যানুয়ালি এই সংখ্যার জন্য এই ফাংশনটি গণনা করা যায়।
3. 3 ফেরমেটের লিটল থিওরেমের ত্রুটি সম্পর্কে জানুন। যে সমস্ত সংখ্যার জন্য পরীক্ষার শর্ত পূরণ করা হয় না সেগুলি যৌগিক, তবে বাকি সংখ্যাগুলি কেবলমাত্র সম্ভবত সহজ। আপনি যদি ভুল ফলাফল এড়াতে চান, অনুসন্ধান করুন n "কারমাইকেল সংখ্যা" (এই পরীক্ষায় সন্তুষ্ট যৌগিক সংখ্যা) এবং "ফেরমেট সিউডোপ্রাইম সংখ্যা" তালিকায় ক).
4. 4 সুবিধাজনক হলে, মিলার-রাবিন পরীক্ষা ব্যবহার করুন। যদিও এই পদ্ধতিটি ম্যানুয়াল গণনার জন্য বরং কষ্টকর, এটি প্রায়ই কম্পিউটার প্রোগ্রামে ব্যবহৃত হয়। এটি ফেরমেটের পদ্ধতির তুলনায় গ্রহণযোগ্য গতি এবং কম ত্রুটি সরবরাহ করে। Comp মানের বেশি গণনা করা হলে একটি যৌগিক সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যা হিসেবে নেওয়া হবে না ক... যদি আপনি এলোমেলোভাবে বিভিন্ন মান নির্বাচন করেন ক এবং তাদের সকলের জন্য পরীক্ষা একটি ইতিবাচক ফলাফল দেবে, আমরা মোটামুটি উচ্চ মাত্রার আত্মবিশ্বাসের সাথে ধরে নিতে পারি যে n একটি মৌলিক সংখ্যা।
5. 5 বড় সংখ্যার জন্য, মডুলার গাণিতিক ব্যবহার করুন। যদি আপনার কাছে মোড ক্যালকুলেটর সহজ না থাকে, অথবা ক্যালকুলেটরটি এত বড় সংখ্যার হ্যান্ডেল করার জন্য ডিজাইন করা হয়নি, তাহলে গণনার কাজটি সহজ করার জন্য পাওয়ার প্রপার্টি এবং মডুলার পাটিগণিত ব্যবহার করুন। নিচে একটি উদাহরণ দেওয়া হল ${ ডিসপ্লে স্টাইল 3 ^ {50}}$ মোড 50:
   • অভিব্যক্তিটিকে আরও সুবিধাজনক আকারে পুনর্লিখন করুন: ${ ডিসপ্লে স্টাইল (3 ^ {25} * 3 ^ {25})}$ mod 50. ম্যানুয়াল গণনার জন্য আরও সরলীকরণের প্রয়োজন হতে পারে।
   • ${ displaystyle (3 ^ {25} * 3 ^ {25})}$ মোড 50 = ${ ডিসপ্লে স্টাইল (3 ^ {25}}$ মোড 50 ${ displaystyle * 3 ^ {25}}$ mod 50) mod 50. এখানে আমরা মডুলার গুণের সম্পত্তি বিবেচনা করেছি।
   • ${ ডিসপ্লে স্টাইল 3 ^ {25}}$ মোড 50 = 43।
   • ${ ডিসপ্লে স্টাইল (3 ^ {25}}$ মোড 50 ${ displaystyle * 3 ^ {25}}$ mod 50) mod 50 = ${ ডিসপ্লে স্টাইল (43 * 43)}$ মোড 50।
   • ${ displaystyle = 1849}$ মোড 50।
   • ${ displaystyle = 49}$.

3 এর অংশ 3: চীনা অবশিষ্ট উপপাদ্য ব্যবহার করা

1. 1 দুটি সংখ্যা বেছে নিন। সংখ্যার একটি অবশ্যই যৌগিক হতে হবে, এবং অন্যটি হুবহু এমন হতে হবে যা আপনি সরলতার জন্য পরীক্ষা করতে চান।
   • সংখ্যা 1 = 35
   • সংখ্যা 2 = 97
2. 2 দুটি মান নির্বাচন করুন যা শূন্যের চেয়ে বড় এবং যথাক্রমে সংখ্যা 1 এবং সংখ্যা 2 এর চেয়ে কম। এই মানগুলো এক হতে হবে না।
   • মান 1 = 1
   • মান 2 = 2
3. 3 সংখ্যা 1 এবং সংখ্যা 2 এর জন্য MMI (গাণিতিক গুণগত বিপরীত) গণনা করুন।
   • এমএমআই গণনা করুন
     • MMI1 = Number2 ^ -1 Mod Number1
     • MMI2 = Number1 ^ -1 Mod Number2
   • শুধুমাত্র মৌলিক সংখ্যার জন্য (এটি যৌগিক সংখ্যার জন্য একটি সংখ্যা দেবে, কিন্তু এটি তার MMI হবে না):
     • MMI1 = (Number2 ^ (Number1-2))% Number1
     • MMI2 = (Number1 ^ (Number2-2))% Number2
   • উদাহরণ স্বরূপ:
     • MMI1 = (97 ^ 33)% 35
     • MMI2 = (35 ^ 95)% 97
4. 4 লগ 2 মডিউলের নিচে প্রতিটি এমএমআই এর জন্য একটি টেবিল তৈরি করুন:
   • MMI1 এর জন্য
     • F (1) = সংখ্যা 2% সংখ্যা 1 = 97% 35 = 27
     • F (2) = F (1) * F (1)% Number1 = 27 * 27% 35 = 29
     • F (4) = F (2) * F (2)% Number1 = 29 * 29% 35 = 1
     • F (8) = F (4) * F (4)% Number1 = 1 * 1% 35 = 1
     • F (16) = F (8) * F (8)% Number1 = 1 * 1% 35 = 1
     • F (32) = F (16) * F (16)% Number1 = 1 * 1% 35 = 1
   • জোড়া সংখ্যা 1 - 2 গণনা করুন
     • 35 -2 = 33 (10001) বেস 2
     • MMI1 = F (33) = F (32) * F (1) mod 35
     • MMI1 = F (33) = 1 * 27 mod 35
     • MMI1 = 27
   • MMI2 এর জন্য
     • F (1) = সংখ্যা 1% সংখ্যা 2 = 35% 97 = 35
     • F (2) = F (1) * F (1)% Number2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (4) = F (2) * F (2)% Number2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (8) = F (4) * F (4)% Number2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (16) = F (8) * F (8)% Number2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (32) = F (16) * F (16)% Number2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (64) = F (32) * F (32)% Number2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (128) = F (64) * F (64)% Number2 = 35 * 35 mod 97 = 61
   • জোড়া সংখ্যা 2 - 2 গণনা করুন
     • 97 - 2 = 95 = (1011111) বেস 2
     • MMI2 = (((((F (64) * F (16)% 97) * F (8)% 97) * F (4)% 97) * F (2)% 97) * F (1)% 97)
     • MMI2 = (((((35 * 35)% 97) * 61)% 97) * 35% 97) * 61% 97) * 35% 97)
     • MMI2 = 61
5. 5 গণনা করুন (মান 1 * সংখ্যা 2 * MMI1 + মান 2 * সংখ্যা 1 * MMI2)% (সংখ্যা 1 * সংখ্যা 2)
   • উত্তর = (1 * 97 * 27 + 2 * 35 * 61)% (97 * 35)
   • উত্তর = (2619 + 4270)% 3395
   • উত্তর = 99
6. 6 চেক করুন যে সংখ্যা 1 মৌলিক নয়
   • গণনা করুন (উত্তর - মান 1)% সংখ্যা 1
   • 99 – 1 % 35 = 28
   • যেহেতু 28 0 এর চেয়ে বড়, 35 একটি মৌলিক সংখ্যা নয়।
7. 7 চেক করুন যে সংখ্যা 2 মৌলিক।
   • গণনা করুন (উত্তর - মান 2)% সংখ্যা 2
   • 99 – 2 % 97 = 0
   • যেহেতু 0 0, 97 সম্ভবত একটি মৌলিক সংখ্যা।
8. 8 কমপক্ষে আরও দুইবার ধাপ 1 থেকে 7 পুনরাবৃত্তি করুন।
   • যদি আপনি ধাপ 7 এ 0 পান:
     • যদি সংখ্যা 1 মৌলিক না হয় তবে একটি ভিন্ন সংখ্যা 1 ব্যবহার করুন।
     • সংখ্যা 1 মৌলিক হলে অন্য সংখ্যা 1 ব্যবহার করুন। এই ক্ষেত্রে, আপনাকে ধাপ 6 এবং 7 এ 0 পেতে হবে।
     • ভিন্ন অর্থ 1 এবং অর্থ 2 ব্যবহার করুন।
   • যদি ধাপ 7 এ আপনি ধারাবাহিকভাবে 0 পান, তাহলে 2 নম্বরটি প্রধান হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে।
   • 1 থেকে 7 ধাপের ফলে ত্রুটি হতে পারে যদি সংখ্যা 1 মৌলিক না হয় এবং সংখ্যা 2 সংখ্যা 1 এর বিভাজক হয়। বর্ণিত পদ্ধতি সব ক্ষেত্রেই কাজ করে যখন উভয় সংখ্যা মৌলিক।
   • যে কারণে আপনাকে 1 থেকে 7 ধাপের পুনরাবৃত্তি করতে হবে তা হল কারণ কিছু ক্ষেত্রে, যদি সংখ্যা 1 এবং সংখ্যা 2 মৌলিক না হয়, 7 তম ধাপে আপনি 0 পাবেন (এক বা উভয় সংখ্যার জন্য)। এটি খুব কমই ঘটে।আরেকটি সংখ্যা 1 (যৌগিক) চয়ন করুন, এবং যদি সংখ্যা 2 মৌলিক না হয়, তাহলে সংখ্যা 2 ধাপ 7 এ শূন্যের সমান হবে না (ব্যতীত যখন সংখ্যা 1 সংখ্যা 2 এর বিভাজক - এখানে প্রাইমগুলি সর্বদা ধাপ 7 এ শূন্যের সমান হবে)।

পরামর্শ

• 168 থেকে 1000 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211 , 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359 36 , 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673 , 7, 3, 1১, 1১, 9১, 19১,, 7২, 33, 39, 3, 1১, 7১, 1১, 9১, 9, 27, 29 , 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
• যদিও বড় সংখ্যার সাথে কাজ করার সময় বর্বর শক্তি পরীক্ষা একটি ক্লান্তিকর পরীক্ষা, এটি ছোট সংখ্যার জন্য বেশ দক্ষ। এমনকি বড় সংখ্যার ক্ষেত্রে, ছোট বিভাজক পরীক্ষা করে শুরু করুন, এবং তারপর সংখ্যার সরলতা পরীক্ষা করার জন্য আরও অত্যাধুনিক পদ্ধতিতে যান (যদি ছোট বিভাজক না পাওয়া যায়)।

তোমার কি দরকার

• কাগজ, কলম বা কম্পিউটার