কন্টেন্ট

• ধাপ
• 3 এর মধ্যে পার্ট 1: দ্বিপদ ফ্যাক্টরিং
• 3 এর অংশ 2: সমীকরণ সমাধানের জন্য দ্বিপদ ফ্যাক্টরিং
• 3 এর অংশ 3: জটিল সমস্যার সমাধান
• পরামর্শ
• সতর্কবাণী

একটি দ্বিপদী (দ্বিপদ) হল একটি গাণিতিক অভিব্যক্তি যার দুটি পদ রয়েছে যার মধ্যে একটি যোগ বা বিয়োগ চিহ্ন রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, ${ displaystyle ax + b}$... প্রথম সদস্যটি ভেরিয়েবল অন্তর্ভুক্ত করে, এবং দ্বিতীয়টি এটি অন্তর্ভুক্ত করে বা অন্তর্ভুক্ত করে না। একটি দ্বিপদ ফ্যাক্টরিং এর মধ্যে এমন পদ খুঁজে পাওয়া জড়িত, যা গুণ করলে, মূল দ্বিপদ তৈরি করে যাতে এটি সমাধান বা সরলীকরণ করা যায়।

ধাপ

3 এর মধ্যে পার্ট 1: দ্বিপদ ফ্যাক্টরিং

1. 1 ফ্যাক্টরিং প্রক্রিয়ার মূল বিষয়গুলো বুঝুন। একটি দ্বিপদ ফ্যাক্টরিং করার সময়, মূল দ্বিপদের প্রতিটি শব্দের বিভাজক যে ফ্যাক্টরটি বন্ধনী থেকে বের করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 6 নম্বরটি 1, 2, 3, 6 দ্বারা সম্পূর্ণভাবে বিভাজ্য। এইভাবে, 6 নম্বরের বিভাজক হল 1, 2, 3, 6 সংখ্যা।
   • বিভাজক 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32
   • যে কোন সংখ্যার বিভাজক হল ১ এবং সংখ্যাটি নিজেই। উদাহরণস্বরূপ, 3 এর বিভাজক হল 1 এবং 3।
   • পূর্ণসংখ্যা বিভাজক শুধুমাত্র পূর্ণসংখ্যা হতে পারে। 32 নম্বরটিকে 3.564 বা 21.4952 দিয়ে ভাগ করা যায়, কিন্তু আপনি একটি পূর্ণসংখ্যা না পেয়ে দশমিক ভগ্নাংশ পান।
2. 2 ফ্যাক্টরিং প্রক্রিয়ার সুবিধার্থে দ্বিপদের শর্তাবলী অর্ডার করুন। একটি দ্বিপদ হল দুটি পদগুলির যোগফল বা পার্থক্য, যার মধ্যে অন্তত একটি ভেরিয়েবল থাকে। কখনও কখনও ভেরিয়েবল একটি শক্তিতে উত্থাপিত হয়, উদাহরণস্বরূপ, ${ displaystyle x ^ {2}}$ অথবা ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... সূচকগুলির ক্রমবর্ধমান ক্রমে দ্বিপদের পদগুলি অর্ডার করা ভাল, অর্থাৎ, ক্ষুদ্রতম সূচকযুক্ত শব্দটি প্রথমে লেখা হয় এবং সর্ববৃহৎ - শেষের সাথে। উদাহরণ স্বরূপ:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • 2. এর সামনে বিয়োগ চিহ্নটি লক্ষ্য করুন।
3. 3 উভয় পদগুলির সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজক (GCD) খুঁজুন। GCD হল সবচেয়ে বড় সংখ্যা যার দ্বারা দ্বিপদের উভয় সদস্যই বিভাজ্য। এটি করার জন্য, দ্বিপদটিতে প্রতিটি পদটির বিভাজক খুঁজুন এবং তারপরে সর্বাধিক সাধারণ বিভাজক নির্বাচন করুন। উদাহরণ স্বরূপ:
   • একটি কাজ:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • বিভাজক 3: 1, 3
     • বিভাজক 6: 1, 2, 3, 6।
     • GCD = 3।
4. 4 দ্বিমাত্রিক প্রতিটি পদকে গ্রেটেস্ট কমন ডিভিজর (GCD) দ্বারা ভাগ করুন। GCD বের করার জন্য এটি করুন। মনে রাখবেন যে দ্বিপদের প্রতিটি সদস্য হ্রাস পায় (কারণ এটি বিভাজ্য), কিন্তু যদি GCD বন্ধনী থেকে বাদ দেওয়া হয়, তাহলে চূড়ান্ত অভিব্যক্তি মূলটির সমান হবে।
   • একটি কাজ:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • GCD খুঁজুন: 3
   • প্রতিটি দ্বিপদ পদকে জিসিডি দ্বারা ভাগ করুন:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 বিভাজককে বন্ধনী থেকে সরান। এর আগে, আপনি দ্বিপদের উভয় পদকে ভাগকারী 3 দ্বারা ভাগ করেছেন এবং পেয়েছেন ${ displaystyle t + 2}$... কিন্তু আপনি 3 থেকে পরিত্রাণ পেতে পারেন না - প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত অভিব্যক্তির মান সমান হওয়ার জন্য, আপনাকে বন্ধনীর বাইরে 3 টি লাগাতে হবে এবং বন্ধনীতে বিভক্তির ফলে প্রাপ্ত অভিব্যক্তিটি লিখতে হবে। উদাহরণ স্বরূপ:
   • একটি কাজ:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • GCD খুঁজুন: 3
   • প্রতিটি দ্বিপদ পদকে জিসিডি দ্বারা ভাগ করুন:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • ফলে প্রকাশ দ্বারা বিভাজককে গুণ করুন:${ ডিসপ্লে স্টাইল 3 (টি + 2)}$
   • উত্তর: ${ ডিসপ্লে স্টাইল 3 (টি + 2)}$
6. 6 আপনার উত্তর চেক. এটি করার জন্য, বন্ধনীগুলির পূর্বের শব্দটি বন্ধনীর ভিতরে প্রতিটি শব্দ দ্বারা গুণ করুন। যদি আপনি মূল দ্বিপদ পান, সমাধানটি সঠিক। এখন সমস্যার সমাধান করুন ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • সদস্যদের অর্ডার করুন:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • GCD খুঁজুন:${ ডিসপ্লে স্টাইল 6}$
   • প্রতিটি দ্বিপদ পদকে জিসিডি দ্বারা ভাগ করুন:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • ফলে প্রকাশ দ্বারা বিভাজককে গুণ করুন:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • উত্তর চেক করুন:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

3 এর অংশ 2: সমীকরণ সমাধানের জন্য দ্বিপদ ফ্যাক্টরিং

1. 1 এটিকে সরল করতে এবং সমীকরণটি সমাধান করতে দ্বিপদকে ফ্যাক্টর করুন। প্রথম নজরে, কিছু সমীকরণ (বিশেষত জটিল দ্বিপদ সহ) সমাধান করা অসম্ভব বলে মনে হয়। উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণটি সমাধান করুন ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... এই সমীকরণে শক্তি আছে, তাই প্রথমে অভিব্যক্তিটি ফ্যাক্টর করুন।
   • একটি কাজ:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • মনে রাখবেন যে একটি দ্বিপদ দুটি সদস্য আছে। যদি অভিব্যক্তিতে আরো পদ অন্তর্ভুক্ত থাকে, তাহলে বহুবচন কিভাবে সমাধান করতে হয় তা শিখুন।
2. 2 সমীকরণের উভয় পাশে কিছু একক যোগ বা বিয়োগ করুন যাতে সমীকরণের একপাশে শূন্য থাকে। ফ্যাক্টরাইজেশনের ক্ষেত্রে, সমীকরণের সমাধানটি অপরিবর্তনীয় সত্যের উপর ভিত্তি করে যে শূন্য দ্বারা গুণিত যেকোনো অভিব্যক্তি শূন্যের সমান। অতএব, যদি আমরা সমীকরণটিকে শূন্যের সাথে সমান করি, তবে এর যেকোনো কারণ অবশ্যই শূন্যের সমান হতে হবে। সমীকরণের এক পাশে 0 সেট করুন।
   • একটি কাজ:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • শূন্য সেট করুন:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 ফলস্বরূপ বিনকে ফ্যাক্টর করুন। পূর্ববর্তী বিভাগে বর্ণিত হিসাবে এটি করুন। সর্ববৃহৎ সাধারণ ফ্যাক্টর (জিসিডি) খুঁজুন, দ্বিপদের উভয় পদকে এটি দ্বারা ভাগ করুন এবং তারপর ফ্যাক্টরটিকে বন্ধনী থেকে সরান।
   • একটি কাজ:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • শূন্য সেট করুন:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • ফ্যাক্টর:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 প্রতিটি ফ্যাক্টর শূন্য সেট করুন। ফলে অভিব্যক্তিতে, 2y 4 - y দ্বারা গুণিত হয়, এবং এই পণ্যটি শূন্যের সমান। যেহেতু কোন অভিব্যক্তি (বা শব্দ) শূন্য দ্বারা গুণ করলে শূন্য হয়, তাহলে 2y বা 4 - y হয় 0. "y" খুঁজে বের করার জন্য ফলস্বরূপ একবিন্দু এবং দ্বিপদ শূন্যে সেট করুন।
   • একটি কাজ:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • শূন্য সেট করুন:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • ফ্যাক্টর:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • উভয় কারণ 0 তে সেট করুন:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 চূড়ান্ত উত্তর (বা উত্তর) খুঁজে পেতে ফলাফল সমীকরণগুলি সমাধান করুন। যেহেতু প্রতিটি ফ্যাক্টর শূন্যের সমান, তাই সমীকরণের একাধিক সমাধান থাকতে পারে। আমাদের উদাহরণে:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 আপনার উত্তর চেক. এটি করার জন্য, মূল সমীকরণে পাওয়া মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন। যদি সমতা সত্য হয়, তাহলে সিদ্ধান্ত সঠিক। "Y" এর পরিবর্তে পাওয়া মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন। আমাদের উদাহরণে, y = 0 এবং y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$এটি সঠিক সিদ্ধান্ত
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) {2} = - 3 (4)}$
     • ${ ডিসপ্লে স্টাইল 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$এবং এটি সঠিক সিদ্ধান্ত

3 এর অংশ 3: জটিল সমস্যার সমাধান

1. 1 মনে রাখবেন যে একটি ভেরিয়েবলের সাথে একটি শব্দটিও ফ্যাক্টর করা যেতে পারে, এমনকি যদি ভেরিয়েবলটি একটি শক্তিতে উত্থাপিত হয়। ফ্যাক্টরিং করার সময়, আপনাকে একটি একবিন্দু খুঁজে বের করতে হবে যা দ্বিপদের প্রতিটি সদস্যকে অবিচ্ছেদ্যভাবে ভাগ করে। উদাহরণস্বরূপ, মনোমিয়াল ${ displaystyle x ^ {4}}$ ফ্যাক্টরাইজ করা যায় ${ displaystyle x * x * x * x}$... অর্থাৎ দ্বিপদের দ্বিতীয় পদেও যদি "x" ভেরিয়েবল থাকে, তাহলে "x" বন্ধনী থেকে বের করা যাবে। সুতরাং, ভেরিয়েবলগুলিকে পূর্ণসংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করুন। উদাহরণ স্বরূপ:
   • দ্বিপদ উভয় সদস্য ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ "টি" আছে, তাই "টি" বন্ধনী থেকে বের করা যেতে পারে: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • এছাড়াও, একটি ক্ষমতায় উত্থাপিত একটি পরিবর্তনশীল বন্ধনী থেকে বের করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিপদ উভয় সদস্য ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ ধারণ করে ${ displaystyle x ^ {2}}$, তাই ${ displaystyle x ^ {2}}$ বন্ধনী থেকে বের করা যাবে: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 একটি দ্বিপদ পেতে অনুরূপ পদ যোগ করুন বা বিয়োগ করুন। উদাহরণস্বরূপ, অভিব্যক্তি দেওয়া ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... প্রথম নজরে, এটি একটি বহুপদী, কিন্তু প্রকৃতপক্ষে, এই অভিব্যক্তিটি দ্বিপদী রূপান্তরিত হতে পারে। অনুরূপ পদ যোগ করুন: 6 এবং 14 (একটি পরিবর্তনশীল নেই), এবং 2x এবং 3x (একই পরিবর্তনশীল "x" ধারণ করে)। এই ক্ষেত্রে, ফ্যাক্টরিং প্রক্রিয়া সহজ করা হবে:
   • মূল অভিব্যক্তি:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • সদস্যদের অর্ডার করুন:${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • অনুরূপ পদ যোগ করুন:${ ডিসপ্লে স্টাইল 5x + 20}$
   • GCD খুঁজুন:${ ডিসপ্লে স্টাইল 5 (x) +5 (4)}$
   • ফ্যাক্টর:${ ডিসপ্লে স্টাইল 5 (x + 4)}$
3. 3 নিখুঁত বর্গের পার্থক্য নির্ণয় কর। একটি নিখুঁত বর্গ হল এমন একটি সংখ্যা যার বর্গমূল একটি পূর্ণসংখ্যা, উদাহরণস্বরূপ ${ ডিসপ্লে স্টাইল 9}$${ ডিসপ্লে স্টাইল (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ আর যদি ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... দ্বিপদ যদি নিখুঁত বর্গের পার্থক্য হয়, উদাহরণস্বরূপ, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, তারপর এটি সূত্র দ্বারা ফ্যাক্টরযুক্ত হয়:
   • বর্গ সূত্রের পার্থক্য:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • একটি কাজ:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • বর্গমূল বের করুন:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • সূত্রের মধ্যে পাওয়া মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 সম্পূর্ণ কিউব মধ্যে পার্থক্য ফ্যাক্টর। যদি দ্বিপদটি সম্পূর্ণ কিউবের পার্থক্য হয়, উদাহরণস্বরূপ, ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, তারপর এটি একটি বিশেষ সূত্র ব্যবহার করে গুণিত হয়। এই ক্ষেত্রে, দ্বিপদের প্রতিটি সদস্য থেকে ঘনমূল বের করা প্রয়োজন এবং সূত্রের মধ্যে পাওয়া মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন।
   • কিউব মধ্যে পার্থক্য জন্য সূত্র:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • একটি কাজ:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • ঘন শিকড় বের করুন:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • সূত্রের মধ্যে পাওয়া মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 পূর্ণ কিউবগুলির যোগফলকে ফ্যাক্টর করুন। নিখুঁত বর্গের সমষ্টি, সম্পূর্ণ কিউবের সমষ্টি, উদাহরণস্বরূপ, ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, একটি বিশেষ সূত্র ব্যবহার করে গুণিত করা যায়। এটি কিউবের মধ্যে পার্থক্যের সূত্রের অনুরূপ, কিন্তু লক্ষণগুলি উল্টো। সূত্রটি বেশ সহজ - এটি ব্যবহার করার জন্য, সমস্যাটিতে পূর্ণ কিউবগুলির যোগফল খুঁজুন।
   • কিউব সমষ্টি জন্য সূত্র:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • একটি কাজ:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • ঘন শিকড় বের করুন:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • সূত্রের মধ্যে পাওয়া মানগুলি প্রতিস্থাপন করুন: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

পরামর্শ

• কখনও কখনও দ্বিপদ সদস্যদের একটি সাধারণ বিভাজক থাকে না। কিছু কাজে সদস্যদের সরলীকৃত আকারে উপস্থাপন করা হয়।
• যদি আপনি এখনই GCD খুঁজে না পান, তাহলে ছোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে শুরু করুন। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি 32 এবং 16 সংখ্যার GCD 16 না দেখতে পান, তাহলে উভয় সংখ্যাকে 2 দ্বারা ভাগ করুন। আপনি 16 এবং 8 পাবেন; এই সংখ্যাগুলিকে 8 দ্বারা ভাগ করা যায়। এখন আপনি 2 এবং 1 পাবেন; এই সংখ্যা কমানো যাবে না। সুতরাং, এটা স্পষ্ট যে একটি বড় সংখ্যা আছে (8 এবং 2 এর তুলনায়), যা দুটি প্রদত্ত সংখ্যার সাধারণ বিভাজক।
• লক্ষ্য করুন যে ষষ্ঠ-অর্ডার পদ (6 এর এক্সপোনেন্ট সহ, উদাহরণস্বরূপ x) উভয় নিখুঁত স্কোয়ার এবং নিখুঁত কিউব। সুতরাং, ষষ্ঠ -ক্রম পদ সহ দ্বিপদগুলিতে, উদাহরণস্বরূপ, x - 64, কেউ বর্গের পার্থক্য এবং কিউবগুলির পার্থক্যের জন্য সূত্রগুলি (যে কোনও ক্রমে) প্রয়োগ করতে পারে। তবে দ্বিপদ দিয়ে আরও সঠিকভাবে পচানোর জন্য প্রথমে বর্গের পার্থক্যের সূত্রটি প্রয়োগ করা ভাল।

সতর্কবাণী

• একটি দ্বিপদ, যা নিখুঁত বর্গের সমষ্টি, গুণিত করা যায় না।