কন্টেন্ট

• পদক্ষেপ
• পদ্ধতি 1 এর 1: প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করে
• পদ্ধতি 2 এর 2: নির্মূল পদ্ধতি ব্যবহার করে
• পদ্ধতি 3 এর 3: গ্রাফ সমীকরণ
• পরামর্শ
• সতর্কতা

একটি "সমীকরণের ব্যবস্থা" তে আপনাকে একই সময়ে দু'একটি বা আরও সমীকরণ সমাধান করতে বলা হয়। এই দুটিতে যখন এক্স এবং y, বা a এবং b এর মতো বিভিন্ন ভেরিয়েবল থাকে, তবে কীভাবে সেগুলি সমাধান করবেন তা প্রথম নজরেই কঠিন হতে পারে। সৌভাগ্যক্রমে, একবার আপনি কী করতে হবে তা জানার পরে, সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আপনার কিছু প্রাথমিক গণিত দক্ষতা (এবং কখনও কখনও কিছু ভগ্নাংশ জ্ঞান) প্রয়োজন। প্রয়োজনে বা আপনি যদি ভিজ্যুয়াল শিক্ষার্থী হন তবে কীভাবে সমীকরণগুলি গ্রাফ করবেন তা শিখুন। গ্রাফিং (প্লট করা) গ্রাফ "কী চলছে" তা দেখার জন্য বা আপনার কাজ পরীক্ষা করার জন্য দরকারী হতে পারে তবে এটি অন্যান্য পদ্ধতির তুলনায়ও ধীর হতে পারে এবং এটি সমস্ত সমীকরণ সিস্টেমের সাথে কাজ করে না।

পদক্ষেপ

পদ্ধতি 1 এর 1: প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করে

1. ভেরিয়েবলগুলি সমীকরণের বিভিন্ন দিকে সরান। এই "প্রতিস্থাপন" পদ্ধতিটি সমীকরণের একটিতে "x জন্য সমাধান" (বা অন্য কোনও পরিবর্তনশীল) দিয়ে শুরু হয়। উদাহরণস্বরূপ, আমাদের নীচের সমীকরণ রয়েছে: 4x + 2y = 8 এবং 5x + 3x = 9। প্রথমত, আমরা প্রথম তুলনা তাকান। প্রতিটি পাশ থেকে 2y বিয়োগ করে পুনর্ব্যবহার করুন এবং আপনি পাবেন: 4x = 8-2y.
   • এই পদ্ধতিটি প্রায়শই পরবর্তী পর্যায়ে ভগ্নাংশ ব্যবহার করে। আপনি যদি ভগ্নাংশের সাথে কাজ না করা পছন্দ করেন তবে আপনি নীচের বিলোপ পদ্ধতিটিও ব্যবহার করতে পারেন।
2. "X" এর সমাধানের জন্য সমীকরণের উভয় দিক ভাগ করুন। সমীকরণের একপাশে আপনার x শব্দটি (বা আপনি যে কোনও ভেরিয়েবল ব্যবহার করুন) পরে, সমীকরণের উভয় পক্ষকে ভেরিয়েবলটি আলাদা করতে ভাগ করুন। এই ক্ষেত্রে:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - .y
3. এটিকে আবার অন্য সমীকরণে প্লাগ করুন। নিশ্চিত ফিরে যান অন্যান্য তুলনা, আপনি ইতিমধ্যে ব্যবহার এক না। এই সমীকরণে, আপনি সমাধান করেছেন এমন পরিবর্তনশীলটি প্রতিস্থাপন করুন, কেবল একটি ভেরিয়েবল রেখে। এই ক্ষেত্রে:
   • আপনি এখন জানেন যে: x = 2 - .y.
   • দ্বিতীয় সমীকরণ, যা আপনি এখনও পরিবর্তন করেননি, তা হ'ল: 5x + 3x = 9.
   • দ্বিতীয় সমীকরণে, x কে "2 - ½y" দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন: 5 (2 - )y) + 3y = 9.
4. বাকি ভেরিয়েবলের জন্য সমাধান করুন। আপনার এখন একটি মাত্র পরিবর্তনশীল সমীকরণ রয়েছে। সেই পরিবর্তনশীলটির সমাধান করতে সাধারণ বীজগণিত কৌশলগুলি ব্যবহার করুন। যদি ভেরিয়েবলগুলি একে অপরকে বাতিল করে দেয় তবে শেষ ধাপে যান। অন্যথায়, আপনি আপনার ভেরিয়েবলগুলির একটির উত্তর দিয়ে শেষ করেছেন:
   • 5 (2 - )y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (আপনি যদি এই পদক্ষেপটি বুঝতে না পারেন তবে কীভাবে ভগ্নাংশ যুক্ত করবেন তা শিখুন this এই পদ্ধতির সাথে এটি প্রায়শই, তবে সবসময় প্রয়োজন হয় না)।
   • 10 + =y = 9
   • =y = -1
   • y = -2
5. অন্যান্য ভেরিয়েবলের সমাধান করতে উত্তরটি ব্যবহার করুন। অর্ধেক পেরিয়ে সমস্যাটি শেষ করার ভুল করবেন না। মূল সমীকরণগুলির একটিতে যে উত্তরটি পেয়েছে তা আপনাকে পুনরায় প্রবেশ করতে হবে যাতে আপনি অন্যান্য ভেরিয়েবলের সমাধান করতে পারেন:
   • আপনি এখন জানেন যে: y = -2
   • মূল সমীকরণগুলির মধ্যে একটি হ'ল: 4x + 2y = 8। (উভয় সমীকরণ এই পদক্ষেপের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে)।
   • Y এর পরিবর্তে -2 প্লাগ ইন করুন: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. যদি উভয় ভেরিয়েবল একে অপরকে বাতিল করে দেয় তবে কী করতে হবে তা জানুন। যখন তুমি x = 3y + 2 বা অন্যান্য সমীকরণে অনুরূপ উত্তর পান, আপনি কেবল একটি ভেরিয়েবলের সাথে সমীকরণ পাওয়ার চেষ্টা করছেন। কখনও কখনও আপনি পরিবর্তে একটি সমীকরণ দিয়ে শেষ ছাড়া পরিবর্তনশীল। আপনার কাজটি দুবার পরীক্ষা করে দেখুন এবং নিশ্চিত করুন (দ্বিতীয়টি পুনরায় সাজানো) প্রথম সমীকরণটি দ্বিতীয় সমীকরণে স্থাপন করুন, প্রথম সমীকরণ নয়। আপনি যদি নিশ্চিত হন যে আপনি কোনও ভুল করেন নি তবে আপনি নিম্নলিখিত ফলাফলগুলির মধ্যে একটি পাবেন:
   • যদি আপনি কোনও ভেরিয়েবল সমেত সমীকরণ তৈরি করেন এবং যা সত্য নয় (উদাঃ 3 = 5), তবে আপনার সমস্যা আছে কোন সমাধান নেই। (আপনি যদি সমীকরণগুলি আঁকেন তবে দেখবেন সেগুলি সমান্তরাল এবং কখনই ছেদ করতে পারে না)।
   • আপনি যদি ভেরিয়েবল ছাড়া সমীকরণটি দিয়ে শেষ করেন তবে সেগুলি আমরা হব সত্য (উদাহরণস্বরূপ, 3 = 3), তবে এতে সমস্যা আছে অসীম সমাধান। দুটি সমীকরণ হুবহু সমান। (আপনি যদি দুটি সমীকরণ গ্রাফ করেন তবে দেখতে পাবেন যে সেগুলি ঠিক ওভারল্যাপ হয়ে গেছে)।

পদ্ধতি 2 এর 2: নির্মূল পদ্ধতি ব্যবহার করে

1. ভেরিয়েবলটি নির্মূল করার জন্য নির্ধারণ করে। কখনও কখনও সমীকরণগুলি একে অপরের সাথে যোগ করার সাথে সাথে একটি পরিবর্তনশীলতে একে অপরকে "নির্মূল" করে দেয়। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যখন সমীকরণগুলি করেন 3x + 2y = 11 এবং 5x - 2y = 13 সংযুক্ত করে, "+ 2y" এবং "-2y" একে অপরকে বাতিল করে দেবে, সমস্ত "y" সহs সমীকরণ থেকে মুছে ফেলা হয়। এই পদ্ধতিতে কোনও ভেরিয়েবলকে বাদ দেওয়া হবে কিনা তা জানতে আপনার সমস্যার সমীকরণগুলি দেখুন। যদি কোনও ভেরিয়েবল অপসারণ না হয় তবে পরামর্শের জন্য পরবর্তী পদক্ষেপটি পড়ুন।
2. একটি ভেরিয়েবল বাতিল করার জন্য একটি সমীকরণকে গুণ করুন। (যদি ভেরিয়েবলগুলি ইতিমধ্যে একে অপরকে বাদ দেয় তবে এই পদক্ষেপটি এড়িয়ে যান)। যদি কোনও সমীকরণের ভেরিয়েবলগুলি নিজেই বাতিল হয়ে যায় তবে আপনাকে সমীকরণগুলির একটি পরিবর্তন করতে হবে যাতে এটি হয়। উদাহরণ সহকারে এটি বোঝা সহজ:
   • মনে করুন আপনার সমীকরণের ব্যবস্থা রয়েছে 3x - y = 3 এবং -x + 2y = 4.
   • আসুন প্রথম সমীকরণটি পরিবর্তন করি যাতে পরিবর্তনশীল হয় y নির্মূল করা হয়। (আপনি এটির জন্যও এটি করতে পারেন এক্স এবং একই উত্তর পান)।
   • দ্য - y " প্রথম সমীকরণটি দিয়ে মুছে ফেলা উচিত + 2y দ্বিতীয় সমীকরণে। আমরা এটি দ্বারা করতে পারেন - y 2 দ্বারা গুন
   • আমরা প্রথম সমীকরণের উভয় দিককে 2 দিয়ে গুণ করি: 2 (3x - y) = 2 (3), এবং এগুলো 6x - 2y = 6। এখন হবে - 2y বিরুদ্ধে পতন + 2y দ্বিতীয় সমীকরণে।
3. দুটি সমীকরণ একত্রিত করুন। দুটি সমীকরণ একত্রিত করতে সক্ষম হতে বাম এবং ডান দিক একসাথে যুক্ত করুন। আপনি যদি সমীকরণটি সঠিকভাবে লিখে থাকেন তবে ভেরিয়েবলগুলির মধ্যে একটির অপরের বিপরীতে বাতিল হওয়া উচিত। শেষ পদক্ষেপের মতো একই সমীকরণগুলি ব্যবহার করে এখানে একটি উদাহরণ দেওয়া হল:
   • আপনার সমীকরণগুলি হ'ল: 6x - 2y = 6 এবং -x + 2y = 4.
   • বাম দিকগুলি একত্রিত করুন: 6x - 2y - x + 2y =?
   • ডান দিক একত্রিত করুন: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. শেষ পরিবর্তনশীল জন্য সমাধান করুন। সম্মিলিত সমীকরণকে সরল করুন এবং তারপরে শেষ ভেরিয়েবলের সমাধান করতে বেসিক বীজগণিতটি ব্যবহার করুন। সরলকরণের পরে যদি কোনও ভেরিয়েবল না থাকে তবে এই বিভাগের শেষ ধাপে চালিয়ে যান। অন্যথায়, আপনার আপনার ভেরিয়েবলগুলির একটি সহজ উত্তর দিয়ে শেষ করা উচিত। এই ক্ষেত্রে:
   • তোমার আছে: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • ভেরিয়েবলগুলি গ্রুপ করুন এক্স এবং y নিজেদের সাথে: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • সহজতর করা: 5x = 10
   • এক্স এর জন্য সমাধান করুন: (5x) / 5 = 10/5, তাই x = 2.
5. অন্যান্য ভেরিয়েবলের জন্য সমাধান করুন। আপনি একটি ভেরিয়েবল খুঁজে পেয়েছেন, তবে আপনি এখনও সম্পূর্ণ করেননি। আপনার উত্তরটিকে মূল সমীকরণের একটিতে বদলে দিন যাতে আপনি অন্যান্য পরিবর্তনকের জন্য সমাধান করতে পারেন। এই ক্ষেত্রে:
   • তুমি সেটা জান x = 2, এবং এটি আপনার মূল সমীকরণগুলির একটি 3x - y = 3 হয়
   • এক্স এর পরিবর্তে 2 ইন প্লাগ করুন: 3 (2) - y = 3.
   • সমীকরণে y সমাধান করুন: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + yতাই 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. যখন উভয় ভেরিয়েবল একে অপরকে বাতিল করে দেয় তখন কী করতে হবে তা জানুন। কখনও কখনও দুটি সমীকরণের সংমিশ্রণের ফলে কোনও সমীকরণের অর্থ হয় না বা সমস্যা সমাধানে আপনাকে সহায়তা করে না। প্রথম থেকেই আপনার কাজটি একবারে পরীক্ষা করে দেখুন, তবে আপনি যদি ভুল না করেন তবে নীচের একটি উত্তর লিখুন:
   • যদি আপনার সম্মিলিত সমীকরণের কোনও পরিবর্তনশীল না থাকে এবং সত্য না হয় (2 = 7 এর মতো) তবে তা রয়েছে কোন সমাধান নেই যা উভয় সমীকরণের জন্য ধারণ করে। (যদি আপনি উভয় সমীকরণ গ্রাফ করেন তবে আপনি দেখতে পাবেন যে সেগুলি সমান্তরাল এবং কখনই ছেদ করতে পারে না)।
   • যদি আপনার সম্মিলিত সমীকরণের কোনও ভেরিয়েবল থাকে না এবং সত্য (যেমন 0 = 0) থাকে তবে তা রয়েছে অসীম সমাধান। দুটি সমীকরণ আসলে অভিন্ন। (আপনি যদি এগুলি কোনও গ্রাফে রাখেন তবে দেখবেন যে তারা একে অপরকে পুরোপুরি ওভারল্যাপ করে)।

পদ্ধতি 3 এর 3: গ্রাফ সমীকরণ

1. নির্দিষ্ট করা হলে কেবল এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করুন। আপনি যদি কোনও কম্পিউটার বা গ্রাফিকিং ক্যালকুলেটর ব্যবহার না করেন তবে অনেকগুলি সমীকরণের পদ্ধতিটি প্রায় এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে সমাধান করা যায়। আপনার শিক্ষক বা গণিত পাঠ্যপুস্তকটি আপনাকে এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে বলতে পারে, তাই আপনি সম্ভবত রেখার মতো গ্রাফিকাল সমীকরণের সাথে পরিচিত। অন্য যে কোনও পদ্ধতির উত্তরগুলি সঠিক কিনা তা পরীক্ষা করতে আপনি এই পদ্ধতিটিও ব্যবহার করতে পারেন।
   • মূল ধারণাটি হ'ল আপনি উভয় সমীকরণকে গ্রাফ করুন এবং বিন্দুটি তারা ছেদ করুন যেখানে নির্ধারণ করুন। এই বিন্দুতে x এবং y মানগুলি সমীকরণের সিস্টেমে x এর মান এবং y এর মান দেয়।
2. Y এর জন্য উভয় সমীকরণ সমাধান করুন। দুটি সমীকরণ পৃথক রাখুন এবং প্রতিটি সমীকরণকে "y = __x + __" রূপে রূপান্তর করতে বীজগণিত ব্যবহার করুন। এই ক্ষেত্রে:
   • প্রথম সমীকরণটি হ'ল: 2x + y = 5। এটিতে এতে পরিবর্তন করুন: y = -2x + 5.
   • দ্বিতীয় সমীকরণটি হ'ল: -3x + 6y = 0। এটিতে পরিবর্তন করুন 6y = 3x + 0, এবং সরলীকরণ y = +x + 0.
   • উভয় সমীকরণ একইতারপরে পুরো লাইনটি একটি "ছেদ বিন্দু" হয়ে যায়। লিখুন: অসীম সমাধান.
3. একটি সমন্বিত সিস্টেম আঁকুন। গ্রাফ পেপারের একটি শীটে একটি উল্লম্ব "y- অক্ষ" এবং একটি অনুভূমিক "এক্স-অক্ষ" আঁকুন। যে বিন্দুটি ছেদ করে সেই বিন্দুতে শুরু করুন, এবং y অক্ষটি উপরে 1 এবং 2, 3, 4 ইত্যাদি সংখ্যা লেবেল করুন এবং ডানদিকে আবার এক্স অক্ষ বরাবর। Y অক্ষের সাথে নীচে এবং বামদিকে x অক্ষ বরাবর সংখ্যা -1, -2 ইত্যাদি লেবেল করুন।
   • আপনার যদি গ্রাফ পেপার না থাকে তবে সংখ্যাটি সমানভাবে ব্যবধানে রয়েছে কিনা তা নিশ্চিত করতে কোনও শাসক ব্যবহার করুন।
   • আপনি যদি বড় সংখ্যা বা দশমিক স্থান ব্যবহার করেন তবে আপনার চার্টটি স্কেল করতে হবে। (উদাহরণস্বরূপ, 1, 2, 3 এর পরিবর্তে 10, 20, 30 বা 0.1, 0.2, 0.3)।
4. প্রতিটি লাইনের জন্য y ছেদটি আঁকুন। একবার আপনি ফর্ম একটি সমীকরণ হয় y = __x + __ আপনি রেফারেন্সটি শুরু করতে পারেন যেখানে পয়েন্ট স্থাপন করে লাইনটি y- অক্ষকে বাধা দেয়। এটি এই সমীকরণের সর্বশেষ সংখ্যার সমান, সর্বদা y মানের হয়।
   • পূর্বে উল্লিখিত উদাহরণগুলিতে একটি লাইন (y = -2x + 5) y- অক্ষরে 5। অন্য লাইন (y = +x + 0) শূন্য পয়েন্ট মাধ্যমে পাস 0। (এগুলি গ্রাফের পয়েন্টগুলি (0.5) এবং (0.0)।
   • সম্ভব হলে প্রতিটি লাইনকে আলাদা রঙ দিয়ে ইঙ্গিত করুন।
5. লাইনগুলি আঁকতে চালিয়ে যেতে opeাল ব্যবহার করুন। ওইরূপে থাকা y = __x + __, x ম এর জন্য সংখ্যা opeাল লাইন বন্ধ প্রতিবার x এক দ্বারা বৃদ্ধি করা হলে, valueালের মান সহ y মান বৃদ্ধি পাবে। X = 1 (বিকল্প হিসাবে প্রতিটি সমীকরণের জন্য x = 1 প্রতিস্থাপন করুন এবং y এর জন্য সমাধান করুন) প্রতিটি লাইনের গ্রাফের বিন্দুটি অনুসন্ধান করতে এই তথ্যটি ব্যবহার করুন।
   • আমাদের উদাহরণে, লাইনটি রয়েছে y = -2x + 5 একটি opeাল -2। X = 1 এ লাইন 2 অবতরণ করে নিচে x = 0. বিন্দু থেকে রেখাংশটি অঙ্কন করুন (0.5) এবং (1.3) এর মধ্যে।
   • নিয়ম y = +x + 0একটি slাল আছে ½। X = 1 এ লাইনটি goes যায় ½ আপ x = 0. বিন্দু থেকে রেখাংশটি অঙ্কন করুন (0,0) এবং (1, ½) এর মধ্যে।
   • রেখাগুলি যখন একই opeাল হয় লাইনগুলি কখনও ছেদ করতে পারে না, সুতরাং সমীকরণের সিস্টেমের জন্য কোনও সমাধান নেই। লিখুন: কোন সমাধান নেই.
6. তারা ছেদ না করা পর্যন্ত লাইনগুলি প্লট করা চালিয়ে যান। থামুন এবং আপনার চার্ট দেখুন। লাইনগুলি ইতিমধ্যে একে অপরকে অতিক্রম করে থাকলে, পরবর্তী পদক্ষেপে এগিয়ে যান। অন্যথায়, লাইনগুলি কী করে তার উপর নির্ভর করে আপনি একটি সিদ্ধান্ত নেন:
   • রেখাগুলি একে অপরের দিকে অগ্রসর হওয়ার সাথে সাথে আপনি সেই দিকটিতে পয়েন্ট আঁকতে থাকুন।
   • লাইনগুলি একে অপরের থেকে দূরে সরে গেলে, ফিরে যান এবং x = -1 থেকে শুরু করে অন্য দিকে পয়েন্টগুলি আঁকুন।
   • লাইনগুলি একে অপরের কাছাকাছি না থাকলে, এগিয়ে গিয়ে লাফিয়ে আরও পয়েন্টগুলি প্ল্যাটফর্ম করুন, যেমন x = 10।
7. উত্তরগুলি রেখার ছেদটিতে সন্ধান করুন। দুটি লাইন একবার ছেদ করলে, সেই বিন্দুতে x এবং y মানগুলি সমস্যার সমাধান। আপনি যদি ভাগ্যবান হন তবে উত্তরটি পূর্ণসংখ্যা হবে। উদাহরণস্বরূপ, আমাদের উদাহরণগুলিতে, দুটি লাইন ছেদ করে (2,1) তোমার উত্তরও তাই x = 2 এবং y = 1। কিছু সমীকরণের সিস্টেমে রেখাগুলি দুটি পূর্ণসংখ্যার মধ্যে একটি মানকে ছেদ করে এবং আপনার গ্রাফটি অত্যন্ত নির্ভুল না হলে এটি কোথায় তা বলা মুশকিল। যদি এটি হয় তবে আপনি একটি উত্তর দিতে পারেন: "x এর মধ্যে 1 এবং 2" থাকে। সঠিক উত্তরটি খুঁজতে আপনি বিকল্প প্রতিস্থাপন পদ্ধতি বা নির্মূলকরণ পদ্ধতিও ব্যবহার করতে পারেন।

পরামর্শ

• উত্তরগুলি আবার মূল সমীকরণগুলিতে প্রবেশ করে আপনি নিজের কাজটি পরীক্ষা করতে পারেন। যদি সমীকরণগুলি সত্য হয় (উদাহরণস্বরূপ, 3 = 3), তবে আপনার উত্তরটি সঠিক।
• বিলোপ পদ্ধতিতে, আপনাকে কখনও কখনও কোনও ভেরিয়েবলটি অপসারণ করতে কোনও সমীকরণটিকে নেতিবাচক সংখ্যার দ্বারা গুণতে হয়।

সতর্কতা

• এই পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা যাবে না যদি আপনি কোনও পাওয়ার সংখ্যার, যেমন x এর সাথে ডিল করছেন। এই ধরণের সমীকরণ সম্পর্কে আরও জানতে, আপনার দুটি ভেরিয়েবলের সাথে ফ্যাক্টর স্কোয়ারিংয়ের একটি গাইড দরকার।