কন্টেন্ট

• ধাপ
• 3 এর মধ্যে 1 পদ্ধতি: অজানা দিকটি কীভাবে সন্ধান করবেন
• 3 এর পদ্ধতি 2: একটি অজানা কোণ খোঁজা
• পদ্ধতি 3 এর 3: নমুনা সমস্যা
• পরামর্শ

কোসাইন তত্ত্বটি ত্রিকোণমিতিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। অনিয়মিত ত্রিভুজ দিয়ে কাজ করার সময় এটি ব্যবহার করা হয় যখন পার্শ্ব এবং কোণগুলির মতো অজানা পরিমাণগুলি খুঁজে পাওয়া যায়। উপপাদ্যটি পাইথাগোরীয় উপপাদ্যের অনুরূপ এবং মনে রাখা মোটামুটি সহজ। কোসাইন উপপাদ্য বলে যে কোন ত্রিভুজ ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

ধাপ

3 এর মধ্যে 1 পদ্ধতি: অজানা দিকটি কীভাবে সন্ধান করবেন

1. 1 জানা মানগুলো লিখ। একটি ত্রিভুজের অজানা দিকটি খুঁজে পেতে, আপনাকে অন্য দুটি দিক এবং তাদের মধ্যে কোণটি জানতে হবে।
   • উদাহরণস্বরূপ, একটি ত্রিভুজ দেওয়া XYZ। YX পাশ 5 সেমি, YZ পাশ 9 সেমি এবং Y কোণ 89। XZ পাশ কি?
2. 2 কোসাইন উপপাদ্য সূত্রটি লিখ। সূত্র: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, কোথায় ${ displaystyle c}$ - অজানা পার্টি, ${ displaystyle cos {C}}$ - অজানা দিকের বিপরীত কোণের কোসাইন, ${ displaystyle a}$ এবং ${ displaystyle b}$ - দুটি সুপরিচিত দিক।
3. 3 সূত্রের মধ্যে পরিচিত মানগুলি প্লাগ করুন। পরিবর্তনশীল ${ displaystyle a}$ এবং ${ displaystyle b}$ দুটি পরিচিত দিক নির্দেশ করুন। পরিবর্তনশীল ${ displaystyle C}$ পাশের মধ্যে অবস্থিত একটি পরিচিত কোণ ${ displaystyle a}$ এবং ${ displaystyle b}$.
   • আমাদের উদাহরণে, XZ পাশটি অজানা, তাই সূত্রে এটি হিসাবে চিহ্নিত করা হয় ${ displaystyle c}$... যেহেতু YX এবং YZ পাশগুলি পরিচিত, সেগুলি ভেরিয়েবল দ্বারা চিহ্নিত করা হয় ${ displaystyle a}$ এবং ${ displaystyle b}$... পরিবর্তনশীল ${ displaystyle C}$ কোণ Y। সুতরাং, সূত্রটি নিম্নরূপ লেখা হবে: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 একটি পরিচিত কোণের কোসাইন খুঁজুন। ক্যালকুলেটর দিয়ে করুন। একটি কোণ মান লিখুন, এবং তারপর ক্লিক করুন ${ displaystyle COS}$... আপনার যদি বৈজ্ঞানিক ক্যালকুলেটর না থাকে, উদাহরণস্বরূপ, একটি অনলাইন কোসাইন টেবিল খুঁজুন। এছাড়াও ইয়ানডেক্সে, আপনি "এক্স ডিগ্রির কোসাইন" প্রবেশ করতে পারেন (এক্স এর জন্য কোণের মান প্রতিস্থাপন করুন), এবং সার্চ ইঞ্জিন কোণের কোসাইন প্রদর্শন করবে।
   • উদাহরণস্বরূপ, কোসাইন হল 89 ° ≈ 0.01745। সুতরাং: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 সংখ্যাগুলি গুণ করুন। গুণ করুন ${ displaystyle 2ab}$ একটি পরিচিত কোণের কোসাইন দ্বারা।
   • উদাহরণ স্বরূপ:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 পরিচিত পক্ষের বর্গগুলি ভাঁজ করুন। মনে রাখবেন, একটি সংখ্যাকে বর্গ করতে হলে, এটিকে নিজেই গুণ করতে হবে। প্রথমে, সংশ্লিষ্ট সংখ্যাগুলিকে বর্গ করুন এবং তারপরে ফলাফলগুলি যোগ করুন।
   • উদাহরণ স্বরূপ:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 দুটি সংখ্যা বিয়োগ করুন। তুমি খুঁজে পাবে ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • উদাহরণ স্বরূপ:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 এই মানটির বর্গমূল নিন। এটি করার জন্য, একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করুন। এভাবে আপনি অজানা দিকটি খুঁজে পাবেন।
   • উদাহরণ স্বরূপ:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     সুতরাং, অজানা দিকটি 10.2191 সেমি।

3 এর পদ্ধতি 2: একটি অজানা কোণ খোঁজা

1. 1 জানা মানগুলো লিখ। ত্রিভুজের অজানা কোণটি খুঁজে পেতে, আপনাকে ত্রিভুজটির তিনটি দিক জানতে হবে।
   • উদাহরণস্বরূপ, একটি ত্রিভুজ RST দেওয়া হয়েছে। পাশের সিপি = 8 সেমি, এসটি = 10 সেমি, পিটি = 12 সেমি কোণ এস এর মান খুঁজুন।
2. 2 কোসাইন উপপাদ্য সূত্রটি লিখ। সূত্র: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, কোথায় ${ displaystyle cos {C}}$ - একটি অজানা কোণের কোসাইন, ${ displaystyle c}$ - একটি অজানা কোণের বিপরীতে একটি পরিচিত দিক, ${ displaystyle a}$ এবং ${ displaystyle b}$ - আরো দুটি বিখ্যাত দল।
3. 3 মান খুঁজুন ক{ displaystyle a}, খ{ displaystyle b} এবং গ{ displaystyle c}. তারপর তাদের সূত্রের মধ্যে প্লাগ করুন।
   • উদাহরণস্বরূপ, RT পাশটি অজানা কোণ S এর বিপরীত, তাই RT পাশটি ${ displaystyle c}$ সূত্রে। অন্যান্য দল করবে ${ displaystyle a}$ এবং ${ displaystyle b}$... সুতরাং, সূত্রটি নিম্নরূপ লেখা হবে: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 সংখ্যাগুলি গুণ করুন। গুণ করুন ${ displaystyle 2ab}$ অজানা কোণের কোসাইন দ্বারা।
   • উদাহরণ স্বরূপ, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 খাড়া গ{ displaystyle c} একটি চত্বরে। অর্থাৎ, সংখ্যাটি নিজেই গুণ করুন।
   • উদাহরণ স্বরূপ, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 স্কোয়ারগুলো ভাঁজ করুন ক{ displaystyle a} এবং খ{ displaystyle b}. কিন্তু প্রথমে, সংশ্লিষ্ট সংখ্যাগুলি বর্গ করুন।
   • উদাহরণ স্বরূপ:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 অজানা কোণের কোসাইনকে বিচ্ছিন্ন করুন। এটি করার জন্য, পরিমাণটি বিয়োগ করুন ${ displaystyle a ^ {2}}$ এবং ${ displaystyle b ^ {2}}$ সমীকরণের উভয় দিক থেকে। তারপর সমীকরণের প্রতিটি পাশকে অজানা কোণের কোসাইন এ ফ্যাক্টর দ্বারা ভাগ করুন।
   • উদাহরণস্বরূপ, একটি অজানা কোণের কোসাইনকে বিচ্ছিন্ন করতে, সমীকরণের উভয় দিক থেকে 164 বিয়োগ করুন এবং তারপরে প্রতিটি পক্ষকে -160 দ্বারা ভাগ করুন:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 বিপরীত কোসাইন গণনা করুন। এটি অজানা কোণের মান খুঁজে পাবে। ক্যালকুলেটরে, বিপরীত কোসাইন ফাংশন নির্দেশ করা হয় ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • উদাহরণস্বরূপ, 0.0125 এর আর্কোসিন 82.8192। সুতরাং কোণ S হল 82.8192।

পদ্ধতি 3 এর 3: নমুনা সমস্যা

1. 1 ত্রিভুজটির অজানা দিক খুঁজুন। পরিচিত বাহুগুলি 20 সেমি এবং 17 সেমি এবং তাদের মধ্যে কোণ 68।
   • যেহেতু আপনাকে দুটি দিক এবং তাদের মধ্যে কোণ দেওয়া হয়েছে, তাই আপনি কোসাইন উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারেন। সূত্রটি লিখুন: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • অজানা দিক হল ${ displaystyle c}$... সূত্রের মধ্যে পরিচিত মানগুলি প্লাগ করুন: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • হিসাব করুন ${ displaystyle c ^ {2}}$, গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের ক্রম পর্যবেক্ষণ করা:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • সমীকরণের উভয় পক্ষের বর্গমূল নিন। এইভাবে আপনি অজানা দিক খুঁজে পাবেন:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     সুতরাং, অজানা দিকটি 20.8391 সেমি।
2. 2 ত্রিভুজ GHI তে H কোণটি খুঁজুন। H কোণার সংলগ্ন দুই পাশ 22 এবং 16 সেমি। H কোণের বিপরীত দিক 13 সেমি।
   • যেহেতু তিনটি দিকই দেওয়া আছে, তাই কোসাইন উপপাদ্য ব্যবহার করা যেতে পারে। সূত্রটি লিখুন: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • অজানা কোণার বিপরীত দিকটি ${ displaystyle c}$... সূত্রের মধ্যে পরিচিত মানগুলি প্লাগ করুন: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • ফলে এক্সপ্রেশন সরল করুন:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • কোসাইন বিচ্ছিন্ন করুন:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • বিপরীত কোসাইন খুঁজুন। এইভাবে আপনি অজানা কোণ গণনা করেন:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     সুতরাং, H কোণ 35.7985।
3. 3 পথের দৈর্ঘ্য খুঁজুন। নদী, পাহাড়ি এবং মার্শ পথ একটি ত্রিভুজ গঠন করে। রিভার ট্রেইলের দৈর্ঘ্য 3 কিমি, হিলি ট্রেইলের দৈর্ঘ্য 5 কিমি; এই পথগুলি 135 of কোণে একে অপরের সাথে ছেদ করে। জলাভূমি লেজ অন্যান্য ট্রেইলের দুই প্রান্তকে সংযুক্ত করে। সোয়াম্প ট্রেইলের দৈর্ঘ্য খুঁজুন।
   • ট্রেইলগুলি একটি ত্রিভুজ গঠন করে। আপনাকে অজানা পথের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করতে হবে, যা ত্রিভুজটির পাশ। যেহেতু অন্য দুটি পথের দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যে কোণ দেওয়া আছে, তাই কোসাইন উপপাদ্য ব্যবহার করা যেতে পারে।
   • সূত্রটি লিখুন: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • অজানা পথ (জলাভূমি) হিসাবে চিহ্নিত করা হবে ${ displaystyle c}$... সূত্রের মধ্যে পরিচিত মানগুলি প্লাগ করুন: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • হিসাব করুন ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • সমীকরণের উভয় পক্ষের বর্গমূল নিন। এইভাবে আপনি অজানা পথের দৈর্ঘ্য খুঁজে পাবেন:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     সুতরাং, সোয়াম্প ট্রেলের দৈর্ঘ্য 7.4306 কিমি।

পরামর্শ

• সাইন থিওরেম ব্যবহার করা সহজ। অতএব, প্রথমে খুঁজে বের করুন যে এটি প্রদত্ত সমস্যাটিতে প্রয়োগ করা যায় কিনা।